心眼神算

原始設計者：林壽福、吳宗儒、張郁玲

活動器材

• 撲克牌（每人一副）
• 每組兩種大小不同的空盒子（例如肥皂盒、藥盒等）各3個。
• 花片（每組30片）
• A4紙、學習單 （每人一張）

活動說明

單元主題說明

1. 透過驚奇、有趣的魔術和遊戲活動，啟發學生強烈學習動機、探究欲望，連結「和差問題」經驗，再以猜測法探索二元一次聯立方程式的解。
2. 活動適用於「解二元一次聯立方程式」正式課程之前。
3. 適用年級：就數學思考與邏輯推理面向，國小五年級以上皆能適用。

活動目標與設計說明

1. 活動目標：學生能透由引導將情境問題轉為數學模型，以系統性猜測「和差問題」的解，奠立二元一次聯立方程式求解的感覺，為未來較抽象的以加減消去法求解二元一次聯立方程式奠下基礎。
2. 魔術關鍵思考與技術︰利用「“乘以10”將『兩數和』位移，而保留『兩數差』在個位」以利閱讀，提供機會讓學生能自然以猜測法探索二元一次聯立方程式的解。

活動流程

表演活動

1. 老師先拿出一副撲克牌，將四個花色的牌各選取1～10點，共40張。
   
2. 老師將挑好的40張牌背面向上，交給觀眾重新洗牌後，展開成一列。
   
3. 邀請一位學生到前面，隨意抽出二張牌，可展示給同學看，但不能讓老師知道。
   
   
4. 請同學將二張牌，牌面的上2個數字相加，得到一個數。
   
5. 請同學將所得的數乘以10。示例：8 * 10 = 80
6. 加上原本抽出兩張牌中數字較大的那個數。示例： 80 + 5 = 85
7. 再減去2個數字中較小的那個數。示例：85 – 3 = 82
8. 請同學告訴老師最後所得到的結果數目為何？示例： 同學說出計算後的數為「82」
9. 信不信由你，老師馬上感應到原先抽到的兩數一張5，另一張是3。成功命中觀眾的兩張牌點！！

問與答

魔術表演完後，不直接進行破解，先鼓勵學生問問題。底下是學生可能的提問。

1. Q：老師的撲克牌有全部使用到嗎？
   • A：好問題。你聯想到什麼呢？說說看。學生可能回答用了人頭牌答案會失敗，因為有進位問題。老師可以鼓勵學生深入思考，此時還不須全部破解，讓其餘學生有機會思考。（※能問出這種問題的學生，通常是靈活、思考推理快者。）
2. 老師可以試著公佈手中的撲克牌：使用的牌點是1～10共40張牌。為什麼？
3. 通常學生為魔術的驚奇所吸引，或者看得目瞪口呆，不知從何問起？老師接著讓學生進行底下兩個遊戲活動，啟發孩子主動思考與探究靈感。

遊戲活動：你牌我猜

1. 道具準備
   1. 準備A、B兩種大小不同的空盒子（例如肥皂盒、藥盒等）各3個。
   2. 兩種盒子外各標注A、B（或大、小；或甲、乙），如右圖所示。
   3. 一副撲克牌。
   4. 每人一張空白A4紙、1支筆。
   5. 花片（每組30片）

1. 遊戲規則（每組4人，組內自行競賽；或老師任關主出題全班猜，小組競賽）
   1. 猜拳決定由誰先當關主（出題者），其餘3人擔任破解者（解題者）。
   2. 依順時鐘輪流擔任關主。
   3. 關主先從撲克牌中選取兩張牌（點數可相同或不同），將大數放入A盒，小數放入B盒，牌面向著自己不讓其他破解者看到牌點，如右圖所示。

1. 1. 紙牌放好後，出題者決定讓其餘3人猜：A＋B或A－B的結果（即大小兩數的和或兩數的差）。
      • 註：此處由教師根據學生狀況決定所使用的表徵 (1)A＋B或A－B；(2) 大＋小或大－小； (3) 甲＋乙或甲－乙。
   2. 由關主左手邊那位先開始，依順時鐘序輪流各自猜一個數，每位猜完關主回答用語只能使用：比它大或比它小或命中，三者之一。猜錯不扣分。
   3. 猜兩數和（A＋B）：最多不超過5次。不須關主提示就猜中得5分，關主給第1次提示後猜中得4分，關主給第2次提示後猜中得3分，關主給第3次提示後猜中得2分，關主給第4次提示後猜中得1分，第5次提示後猜中不得分；給第4次提示後關主也可得1分。
   4. 猜兩數差（A－B）：最多不超過4次。不須關主提示就猜中得4分，關主給第1次提示後猜中得3分，關主給第2次提示後猜中得2分，關主給第3次提示後猜中得1分，關主給第4次提示後猜中不得分；給第3次提示後關主也可得1分。
   5. 共玩3回合，以4位都輪任1次關主算1回合。
      • 註：撲克牌只使用小牌點1～10共40張。
   6. 每次解題得幾分就從桌面拿走幾枚花片，最後累積花片數多者獲勝。

1. 全班分享討論

分享我的遊戲致勝策略或秘訣？例如具體說明出題者給出結果和提示後，我的猜測方法和歷程。 若再玩一次，我會使用怎樣的策略，讓所猜的次數變得更少些？

遊戲活動：你牌我猜

1. 道具準備
   1. 準備A、B兩種大小不同的空盒子（例如肥皂盒、藥盒等）各3個。
   2. 兩種盒子外各標注A、B（或大、小；或甲、乙），如右圖所示。
   3. 一副撲克牌。
   4. 每人一張空白A4紙、1支筆。
   5. 花片（每組30片）

1. 遊戲規則（每組4人，組內自行競賽；或老師任關主出題全班猜，小組競賽）
   1. 猜拳決定由誰先當關主（出題者），其餘3人擔任破解者（解題者）。
   2. 依順時鐘輪流擔任關主。
   3. 關主先從撲克牌中選取兩張牌（點數可相同或不同），將大數放入A盒，小數放入B盒，牌面向著自己不讓其他破解者看到牌點，如右圖所示。。
   4. 紙牌放好後，出題者要造出一個：mA＋nB=K或mA－nB=L(其中m、n不可超過3)的關係式，並告訴大家。
   5. 由破解者搶答。如果能在沙漏（1分鐘）滴完時限內，正確猜出兩張牌的數字，解題者得3分；答錯或答不出來，出題者得1分；如果出題者計算錯誤，解題者各得1分。
   6. 解題者可以要求出題者給一個提示，但提示僅限定同時含有A、B關係的式子結果，不能直接問A或B數字是多少？違者扣1分。給提示後，能正確猜出兩張牌的數字，解答者和出題者各得1分。
   7. 共玩3回合，以4位都輪任1次關主算1回合。
      • 註：撲克牌只使用小牌點1～10共40張。
   8. 每次解題得幾分就桌面拿走幾枚花片，最後累積花片數多者獲勝。
      • 註：出題者盒子排列參考圖（教師可視班上學生程度給予圖示參考或不用參考）

1. 全班分享討論
   1. 分享我的遊戲致勝策略或秘訣？例如具體說明出題者給出結果和提示後，我的猜測方法和歷程。
   2. 關主給了A＋B或A－B的結果，如果不給提示我能直接猜出A或B的數字嗎？為什麼？
   3. 有否關主一出完題，我就知道答案的案例？請舉例說明。
   4. 我有發現共通的解題模式，可用來解決更多類似的問題。

魔術回顧與討論

1. 觀察與討論
   1. 玩完兩個遊戲後，再回顧整個魔術過程，你有發現什麼嗎？說說看。
   2. 老師再給提示：「魔術過程中有進行那些運算？」
   3. 小組分享。

1. 教師進一步引導與再提示
   1. 前面五個步驟，「兩數之和乘以10」後，「加上原本較大的數」，再「減掉原本較小的數」，會讓大家想到什麼？（盡量鼓勵學生自行發現和提出來）
   2. 乘以10之後會有什麼特性？
   3. 有觀察到十位以上的數字，其實就是觀眾手握兩張數字牌的和嗎？
   4. 如果這兩數分別用⚪和◻來代表且⚪≧◻，而觀眾運算結果數目是62，那表示⚪＋◻＝？，⚪－◻＝？，接著你能猜出⚪＝_，◻＝_嗎？
      • 注意不可對「+10+-」做進一步代數運算。

學生操作

1. 玩玩看
   1. 讓學生每兩人1組模仿上面魔術過程，體驗一下！能否猜出兩張牌點？（※先試玩10～15分鐘。）
   2. 教師此時可以至各小組觀察學生的互動狀況，以及聽聽學生想法。

全班溝通討論

1. 請學生試作學習單第（一）、（二）題，然後發表想法，全班討論。
2. 為了激發同學們更深入思考，滿足想要學會魔術、探索新知的欲望，老師接著追問：這個魔術能保證百分之百成功嗎？為什麼？
3. 練習學習單其餘問題。

規律解說（魔術秘訣）

假定觀眾抽到方塊9和黑桃5，依照第3～6步：9+5×10+9-5運算後，報出答案144。老師只要將它轉換成⚪＋◻＝14，⚪－◻＝4，再利用心算和嘗試錯誤的方法，很快得到大數9、小數5。
假定較大數為⚪，較小數為◻，則與上面步驟相對應的設定如下：

1. ⚪&◻
2. +
3. +10
4. +10+
5. +10+-

當觀眾報出結果，老師利用猜測法就可以得到答案：(+)就是觀眾的十位數和百位數字14，而(-)是個位數字4。這是保證魔術成功的關鍵。

高年級或國中生符號引入的對應表示法

我們可以假定較大的數為X，較小的數為Y，則與上面步驟相對應的設定如下：

1. X and Y
2. X+Y
3. X+Y10
4. X+Y10+X
5. X+Y10+X-Y

老師求出，較大的數：X+Y+X-Y÷2=X較小的數：X-X-Y=Y因為(X+Y)就是觀眾所報答案中的十位數和百位數字，如上舉例的14；而(X-Y)就是個位數字，如上舉例的4。