"角動量守恆" 修訂間的差異
(→動量與角動量) |
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− | <th></th> | + | <th>計量對象</th> |
<th>速度</th> | <th>速度</th> | ||
<th>掠面速度(勻速圓周運動時掠面速度退化為角速度)</th> | <th>掠面速度(勻速圓周運動時掠面速度退化為角速度)</th> | ||
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− | <th> | + | <th>穩態不變的條件<sub>第一定律</sub></th> |
<th>合外力為零時才不變</th> | <th>合外力為零時才不變</th> | ||
<th>不受力和受有心力時,掠面積不變,角動量不變</th> | <th>不受力和受有心力時,掠面積不變,角動量不變</th> | ||
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− | <th>變化因子</th> | + | <th>變化因子<sub>第二定律</sub></th> |
<th>力 F=ma=m dv/dt</th> | <th>力 F=ma=m dv/dt</th> | ||
<th>力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt</th> | <th>力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt</th> | ||
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− | <th>兩體時</th> | + | <th>兩體時<sub>第三定律</sub></th> |
<th>F<sub>12</sub>=-F<sub>12</sub> 或 dp<sub>1</sub>=-dp<sub>2</sub></th> | <th>F<sub>12</sub>=-F<sub>12</sub> 或 dp<sub>1</sub>=-dp<sub>2</sub></th> | ||
<th>M<sub>12</sub>=-M<sub>12</sub> 或 dJ<sub>1</sub>=-dJ<sub>2</sub></th> | <th>M<sub>12</sub>=-M<sub>12</sub> 或 dJ<sub>1</sub>=-dJ<sub>2</sub></th> | ||
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− | <th></th> | + | <th>多體質心系</th> |
− | <th> | + | <th>總動量必為零</th> |
− | <th> | + | <th>總角動量可以不為零(自旋角動量)</th> |
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− | <th></th> | + | <th>三維空間中</th> |
− | <th></th> | + | <th>物體可以沿著三個方向平動</th> |
− | <th></th> | + | <th>物體可以沿著三個方向轉動</th> |
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− | <th></th> | + | <th>量子力學</th> |
− | <th></th> | + | <th>無內秉量力數</th> |
− | <th></th> | + | <th>有自旋量子數</th> |
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於 2022年10月4日 (二) 09:33 的修訂
目錄
原理槪述
角動量守恆定律是指:系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。
在經典力學部分,依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量,該守恆量稱為諾特荷,而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分,所以只適合可微分的連續量:
- 角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。
- 物理系統對於空間平移的不變性(換言之,物理定律不隨著空間中的位置而變化)給出了動量的守恆律
- 對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律
- 諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵
諾特定理的量子化版本是沃德-高橋恆等式(Ward-Takahashi),也會產生出更多的守恆定律:
- 從電勢和向量勢的規範不變性得出電荷的守恆
但角動量在量子力學中有更深刻的特性:
- 許多粒子帶有內稟角動量——自旋
- 角動量是分立的、量子化的。
- 各獨立方向的角動量之間不對易。
什麼是角動量
- 角動量是向量,其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向,四指為旋轉方向,拇指為角動量方向。
- 角動量(L)的大小=半徑(r)×質量(m)×速度(v)。
其他的表示法
L = r×p ,動量和到原點位移的叉乘(外積)
L = I×ω ,轉動慣量乘以角速度
角動量為什麼會守恆?
一、單位時間(dt)內,質點與心連線的掠面積均相等
前提:
- 有一心,如右圖 O
- 質點呈等速運動前進
推論:
- 單位時間(dt)內,質點與心連線的掠面積均相等
- 此掠面積大小正比於:等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離
以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立
消掉了和 r 平行的那部分(俗稱徑向分量)而保留了和 r 垂直的那部分(俗稱切向分量)。
如右圖:在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生,但可拆解後再合成。
(一)向心運動為 0 時,右圖左
每單位時間的掠面積,以三小塊三角形表示,由於是等速運動,三個 ∆s 均相等(同底),高均為 OH ,同底等高,所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。
(二)向心運動不為 0 時,右圖右
- 第一小段單位時間的掠面積為 △OAB ,等於 △OBC
- C' 為過 C 點平行於 OB 線上的任一點,可能在 C 點左側,也可能在 C 點右側。
- 設 CC' 代表第二小段單位時間的向心位移,必須平行於 OB ,才符合向心運動的定義。
- 代表第二小段單位時間的質點運動為 BC 與 CC' 之合成,即 BC' 。
- 第二小段單位時間的掠面積為 △OBC' ,等於 △OBC(同底等高) ,等於 △OAB(同底等高) 。這一點不論 C' 點在 C 點左側、在 C 點右側或是與 C 點重合都不變。
- 單位時間的掠面積正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。
二、尋找代表質點向心運動掠面積的算符
- 其計算因子:速度 V 為向量。
- 其計算結果也必須是向量,因為向心運動順時鐘旋轉與逆時鐘旋轉,代表兩組「不同」的向心運動。
- 計算結果大小與等速運動前進線與心之垂直距離成正比。
- 計算結果大小與速度 V 大小成正比。
綜上,目前「外積」算符與角動量定義最適合用來代表掠面積的大小。
動量與角動量
平動 | 轉動 | |
---|---|---|
守恆量 | 動量守恆 | 角動量守恆 |
計量對象 | 速度 | 掠面速度(勻速圓周運動時掠面速度退化為角速度) |
穩態 | 靜止或勻速直線運動 | 周期和穩定的軌道 |
穩態不變的條件第一定律 | 合外力為零時才不變 | 不受力和受有心力時,掠面積不變,角動量不變 |
計量定義 | 動量 p=mv | 角動量 J=m r×v=r×p |
變化因子第二定律 | 力 F=ma=m dv/dt | 力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt |
兩體時第三定律 | F12=-F12 或 dp1=-dp2 | M12=-M12 或 dJ1=-dJ2 |
多體質心系 | 總動量必為零 | 總角動量可以不為零(自旋角動量) |
三維空間中 | 物體可以沿著三個方向平動 | 物體可以沿著三個方向轉動 |
量子力學 | 無內秉量力數 | 有自旋量子數 |
角動量守恆的應用
- 讓飛行的紙牌旋轉,紙牌就不會翻滾。
- 舞者或溜冰者,收攏四肢以加快族轉的速度。
- 槍管或炮管加螺旋的膛線,讓子彈或炮彈旋轉,前進時就不會翻滾。
- 克卜勒第二定律:在相等時間內,太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。