"角動量守恆" 修訂間的差異

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==原理槪述==
 
角動量守恆定律是指：系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。
 
角動量守恆定律是指：系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。
  
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在經典力學部分，依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量，該守恆量稱為諾特荷，而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分，所以只適合可微分的連續量：
 
在經典力學部分，依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量，該守恆量稱為諾特荷，而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分，所以只適合可微分的連續量：
 
#角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。
 
#角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。
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#對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律
 
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:諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵
 
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諾特定理的量子化版本是沃德-高橋恆等式(Ward-Takahashi)，也會產生出更多的守恆定律：
 
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#從電勢和向量勢的規範不變性得出電荷的守恆
 
  
 
但角動量在量子力學中有更深刻的特性：
 
但角動量在量子力學中有更深刻的特性：
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#角動量是分立的、量子化的。
 
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#各獨立方向的角動量之間不對易。
 
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在古典力學、相對論、量子力學中，以下原理都成立：
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==什麼是角動量==
 
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<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Angular_momentum_circle.svg' width=150 height=* /></div>
 
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#角動量是向量，其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向，四指為旋轉方向，拇指為角動量方向。
 
#角動量是向量，其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向，四指為旋轉方向，拇指為角動量方向。
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#角動量(L)的大小＝半徑(r)×質量(m)×速度(v)。
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#角動量(L)的大小＝質量(m)|半徑('''r''')×速度('''v''')|。
 
'''其他的表示法'''
 
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L = r×p ，動量和到原點位移的叉乘(外積)
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L = I×ω ，轉動慣量乘以角速度
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====角動量守恆的應用====
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==連心力影響下角動量為什麼會守恆？==
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===一、單位時間(dt)內，質點與心連線的掠面積均相等===
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前提：
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#有一心，如右圖 O
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#質點呈等速運動前進
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推論：
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#單位時間(dt)內，質點與心連線的掠面積均相等
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#此掠面積大小正比於：等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離
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以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立
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消掉了和 r 平行的那部分(俗稱徑向分量)而保留了和 r 垂直的那部分(俗稱切向分量)。
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如右圖：在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生，但可拆解後再合成。
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====(一)向心運動為 0 時，右圖左====
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每單位時間的掠面積，以三小塊三角形表示，由於是等速運動，三個 ∆s 均相等(同底)，高均為 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> ，同底等高，所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> 之乘積。
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====(二)向心運動不為 0 時，右圖右====
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#第一小段單位時間的掠面積為 △OAB ，等於 △OBC
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#C' 為過 C 點平行於 <span style='text-decoration:overline'>OB</span> 線上的任一點，可能在 C 點左側，也可能在 C 點右側。
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#設 <span style='text-decoration:overline'>CC'</span> 代表第二小段單位時間的向心位移，必須平行於 <span style='text-decoration:overline'>OB</span> ，才符合向心運動的定義。
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#代表第二小段單位時間的質點運動為 <span style='text-decoration:overline'>BC</span> 與 <span style='text-decoration:overline'>CC'</span> 之合成，即 <span style='text-decoration:overline'>BC'</span> 。
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#第二小段單位時間的掠面積為 △OBC' ，等於 △OBC(同底等高) ，等於 △OAB(同底等高) 。這一點不論 C' 點在 C 點左側、在 C 點右側或是與 C 點重合都不變。
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#單位時間的掠面積正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> 之乘積。
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===二、尋找代表質點向心運動掠面積的算符===
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#其計算因子：速度 V 徑向r 皆為向量。
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#其計算結果也必須是向量，因為向心運動順時鐘旋轉與逆時鐘旋轉，代表兩組「不同」的向心運動。
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#計算結果大小與等速運動前進線與心之垂直距離成正比。
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#計算結果大小與1/2rVsin(θ)成正比。
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綜上，目前「外積」算符與角動量定義最適合用來代表掠面積的大小。
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==動量與角動量==
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<th>平動</th>
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<th>轉動</th>
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<th>守恆量</th>
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<th>動量守恆</th>
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<th>計量對象</th>
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<th>穩態</th>
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<th>週期和穩定的軌道</th>
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<th>穩態不變的條件<sub>第一定律</sub></th>
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<th>合外力為零時才不變</th>
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<th>不受力和受有心力時，掠面積不變，角動量不變</th>
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<th>計量定義</th>
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<th>動量 p=mv</th>
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<th>角動量 J=m r×v=r×p </th>
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<th>變化因子<sub>第二定律</sub></th>
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<th>力 F=ma=m dv/dt</th>
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<th>力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt</th>
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<th>兩體時<sub>第三定律</sub></th>
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<th>F<sub>12</sub>=-F<sub>21</sub> 或 dp<sub>1</sub>=-dp<sub>2</sub></th>
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<th>M<sub>12</sub>=-M<sub>21</sub> 或 dJ<sub>1</sub>=-dJ<sub>2</sub></th>
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<th>多體的質心系</th>
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<th>總動量必為零</th>
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<th>總角動量可以不為零(自旋角動量)</th>
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<th>三維空間中</th>
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<th>物體可以沿著三個方向平動</th>
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<th>物體可以沿著三個方向轉動</th>
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<th>量子力學</th>
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<th>無內秉量力數</th>
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<th>有自旋量子數</th>
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==角動量守恆的應用==
 
#讓飛行的紙牌旋轉，紙牌就不會翻滾。
 
#讓飛行的紙牌旋轉，紙牌就不會翻滾。
 
#舞者或溜冰者，收攏四肢以加快族轉的速度。
 
#舞者或溜冰者，收攏四肢以加快族轉的速度。
 
#槍管或炮管加螺旋的膛線，讓子彈或炮彈旋轉，前進時就不會翻滾。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg/917px-Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg' width=80 height=* />
 
#槍管或炮管加螺旋的膛線，讓子彈或炮彈旋轉，前進時就不會翻滾。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg/917px-Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg' width=80 height=* />
 
#克卜勒第二定律：在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Kepler-second-law.svg' width=150 height=*/>
 
#克卜勒第二定律：在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Kepler-second-law.svg' width=150 height=*/>
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==相關的上線活動==
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#[[撲克飛虎]]：……
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#[[危險邊緣]]
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#[[垂直面陀螺]]
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#[[兩小無猜]]
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#[[你儂我儂]]
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#[[火柴火箭(matches rocket)]]
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#[[遊龍戲鳳]]
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#[[翻雲神龍]]
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#[[巧奪天弓]]
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#[[飛天神龍]]
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#[[兩小無猜_v2]]
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#[[掉落的紙]]

於 2023年1月31日 (二) 09:40 的最新修訂

原理槪述

角動量守恆定律是指：系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。

在經典力學部分，依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量，該守恆量稱為諾特荷，而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分，所以只適合可微分的連續量：

  1. 角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。
  2. 物理系統對於空間平移的不變性(換言之，物理定律不隨著空間中的位置而變化)給出了動量的守恆律
  3. 對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律
諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵

但角動量在量子力學中有更深刻的特性：

  1. 許多粒子帶有內稟角動量——自旋
  2. 角動量是分立的、量子化的。
  3. 各獨立方向的角動量之間不對易。

在古典力學、相對論、量子力學中，以下原理都成立：

  1. 動量守恆
  2. 角動量守恆
  3. 能量守恆
  4. 電荷守恆

什麼是角動量

  1. 角動量是向量，其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向，四指為旋轉方向，拇指為角動量方向。
  2. 角動量(L)的大小＝質量(m)|半徑(r)×速度(v)|。

其他的表示法

L = r×p ，動量和到原點位移的叉乘(外積)

L = Iω ，轉動慣量乘以角速度

連心力影響下角動量為什麼會守恆？

一、單位時間(dt)內，質點與心連線的掠面積均相等

前提：

  1. 有一心，如右圖 O
  2. 質點呈等速運動前進

推論：

  1. 單位時間(dt)內，質點與心連線的掠面積均相等
  2. 此掠面積大小正比於：等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離

以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立

消掉了和 r 平行的那部分(俗稱徑向分量)而保留了和 r 垂直的那部分(俗稱切向分量)。

如右圖：在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生，但可拆解後再合成。

(一)向心運動為 0 時，右圖左

每單位時間的掠面積，以三小塊三角形表示，由於是等速運動，三個 ∆s 均相等(同底)，高均為 OH ，同底等高，所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。

(二)向心運動不為 0 時，右圖右

  1. 第一小段單位時間的掠面積為 △OAB ，等於 △OBC
  2. C' 為過 C 點平行於 OB 線上的任一點，可能在 C 點左側，也可能在 C 點右側。
  3. 設 CC' 代表第二小段單位時間的向心位移，必須平行於 OB ，才符合向心運動的定義。
  4. 代表第二小段單位時間的質點運動為 BC 與 CC' 之合成，即 BC' 。
  5. 第二小段單位時間的掠面積為 △OBC' ，等於 △OBC(同底等高) ，等於 △OAB(同底等高) 。這一點不論 C' 點在 C 點左側、在 C 點右側或是與 C 點重合都不變。
  6. 單位時間的掠面積正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。

二、尋找代表質點向心運動掠面積的算符

  1. 其計算因子：速度 V 徑向r 皆為向量。
  2. 其計算結果也必須是向量，因為向心運動順時鐘旋轉與逆時鐘旋轉，代表兩組「不同」的向心運動。
  3. 計算結果大小與等速運動前進線與心之垂直距離成正比。
  4. 計算結果大小與1/2rVsin(θ)成正比。

綜上，目前「外積」算符與角動量定義最適合用來代表掠面積的大小。

動量與角動量

平動 轉動
守恆量 動量守恆 角動量守恆
計量對象 速度 掠面速度(方向垂直掠面)
穩態 靜止或勻速直線運動 週期和穩定的軌道
穩態不變的條件第一定律 合外力為零時才不變 不受力和受有心力時，掠面積不變，角動量不變
計量定義 動量 p=mv 角動量 J=m r×v=r×p
變化因子第二定律 力 F=ma=m dv/dt 力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt
兩體時第三定律 F12=-F21 或 dp1=-dp2 M12=-M21 或 dJ1=-dJ2
多體的質心系 總動量必為零 總角動量可以不為零(自旋角動量)
三維空間中 物體可以沿著三個方向平動 物體可以沿著三個方向轉動
量子力學 無內秉量力數 有自旋量子數

角動量守恆的應用

  1. 讓飛行的紙牌旋轉，紙牌就不會翻滾。
  2. 舞者或溜冰者，收攏四肢以加快族轉的速度。
  3. 槍管或炮管加螺旋的膛線，讓子彈或炮彈旋轉，前進時就不會翻滾。
  4. 克卜勒第二定律：在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。

相關的上線活動

  1. 撲克飛虎：……
  2. 危險邊緣
  3. 垂直面陀螺
  4. 兩小無猜
  5. 你儂我儂
  6. 火柴火箭(matches rocket)
  7. 遊龍戲鳳
  8. 翻雲神龍
  9. 巧奪天弓
  10. 飛天神龍
  11. 兩小無猜_v2
  12. 掉落的紙
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