"角動量守恆" 修訂間的差異
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==原理槪述== | ==原理槪述== | ||
角動量守恆定律是指:系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。 | 角動量守恆定律是指:系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。 | ||
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在經典力學部分,依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量,該守恆量稱為諾特荷,而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分,所以只適合可微分的連續量: | 在經典力學部分,依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量,該守恆量稱為諾特荷,而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分,所以只適合可微分的連續量: | ||
#角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。 | #角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。 | ||
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#對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律 | #對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律 | ||
:諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵 | :諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵 | ||
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但角動量在量子力學中有更深刻的特性: | 但角動量在量子力學中有更深刻的特性: | ||
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#角動量是分立的、量子化的。 | #角動量是分立的、量子化的。 | ||
#各獨立方向的角動量之間不對易。 | #各獨立方向的角動量之間不對易。 | ||
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+ | 在古典力學、相對論、量子力學中,以下原理都成立: | ||
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==什麼是角動量== | ==什麼是角動量== | ||
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Angular_momentum_circle.svg' width=150 height=* /></div> | <div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Angular_momentum_circle.svg' width=150 height=* /></div> | ||
#角動量是向量,其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向,四指為旋轉方向,拇指為角動量方向。 | #角動量是向量,其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向,四指為旋轉方向,拇指為角動量方向。 | ||
− | #角動量(L) | + | #角動量(L)的大小=質量(m)|半徑('''r''')×速度('''v''')|。 |
'''其他的表示法''' | '''其他的表示法''' | ||
− | L = | + | '''L''' = '''r'''×'''p''' ,動量和到原點位移的叉乘(外積) |
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+ | L = Iω ,轉動慣量乘以角速度 | ||
− | == | + | ==連心力影響下角動量為什麼會守恆?== |
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<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/CentripetalDisplacementAndEqualSweepArea.svg' width=420 height=320 /></div> | <div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/CentripetalDisplacementAndEqualSweepArea.svg' width=420 height=320 /></div> | ||
前提: | 前提: | ||
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#此掠面積大小正比於:等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離 | #此掠面積大小正比於:等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離 | ||
以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立 | 以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立 | ||
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+ | 消掉了和 r 平行的那部分(俗稱徑向分量)而保留了和 r 垂直的那部分(俗稱切向分量)。 | ||
如右圖:在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生,但可拆解後再合成。 | 如右圖:在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生,但可拆解後再合成。 | ||
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每單位時間的掠面積,以三小塊三角形表示,由於是等速運動,三個 ∆s 均相等(同底),高均為 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> ,同底等高,所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> 之乘積。 | 每單位時間的掠面積,以三小塊三角形表示,由於是等速運動,三個 ∆s 均相等(同底),高均為 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> ,同底等高,所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> 之乘積。 | ||
− | ====向心運動不為 0 時,右圖右==== | + | ====(二)向心運動不為 0 時,右圖右==== |
#第一小段單位時間的掠面積為 △OAB ,等於 △OBC | #第一小段單位時間的掠面積為 △OAB ,等於 △OBC | ||
#C' 為過 C 點平行於 <span style='text-decoration:overline'>OB</span> 線上的任一點,可能在 C 點左側,也可能在 C 點右側。 | #C' 為過 C 點平行於 <span style='text-decoration:overline'>OB</span> 線上的任一點,可能在 C 點左側,也可能在 C 點右側。 | ||
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#代表第二小段單位時間的質點運動為 <span style='text-decoration:overline'>BC</span> 與 <span style='text-decoration:overline'>CC'</span> 之合成,即 <span style='text-decoration:overline'>BC'</span> 。 | #代表第二小段單位時間的質點運動為 <span style='text-decoration:overline'>BC</span> 與 <span style='text-decoration:overline'>CC'</span> 之合成,即 <span style='text-decoration:overline'>BC'</span> 。 | ||
#第二小段單位時間的掠面積為 △OBC' ,等於 △OBC(同底等高) ,等於 △OAB(同底等高) 。這一點不論 C' 點在 C 點左側、在 C 點右側或是與 C 點重合都不變。 | #第二小段單位時間的掠面積為 △OBC' ,等於 △OBC(同底等高) ,等於 △OAB(同底等高) 。這一點不論 C' 點在 C 點左側、在 C 點右側或是與 C 點重合都不變。 | ||
− | #單位時間的掠面積正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。 | + | #單位時間的掠面積正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> 之乘積。 |
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+ | ===二、尋找代表質點向心運動掠面積的算符=== | ||
+ | #其計算因子:速度 V 徑向r 皆為向量。 | ||
+ | #其計算結果也必須是向量,因為向心運動順時鐘旋轉與逆時鐘旋轉,代表兩組「不同」的向心運動。 | ||
+ | #計算結果大小與等速運動前進線與心之垂直距離成正比。 | ||
+ | #計算結果大小與1/2rVsin(θ)成正比。 | ||
+ | 綜上,目前「外積」算符與角動量定義最適合用來代表掠面積的大小。 | ||
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+ | ==動量與角動量== | ||
+ | <table class=nicetable> | ||
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+ | <th>平動</th> | ||
+ | <th>轉動</th> | ||
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+ | <th>守恆量</th> | ||
+ | <th>動量守恆</th> | ||
+ | <th>角動量守恆</th> | ||
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+ | <th>計量對象</th> | ||
+ | <th>速度</th> | ||
+ | <th>掠面速度(方向垂直掠面)</th> | ||
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+ | <th>穩態</th> | ||
+ | <th>靜止或勻速直線運動</th> | ||
+ | <th>週期和穩定的軌道</th> | ||
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+ | <th>穩態不變的條件<sub>第一定律</sub></th> | ||
+ | <th>合外力為零時才不變</th> | ||
+ | <th>不受力和受有心力時,掠面積不變,角動量不變</th> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <th>計量定義</th> | ||
+ | <th>動量 p=mv</th> | ||
+ | <th>角動量 J=m r×v=r×p </th> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <th>變化因子<sub>第二定律</sub></th> | ||
+ | <th>力 F=ma=m dv/dt</th> | ||
+ | <th>力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt</th> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <th>兩體時<sub>第三定律</sub></th> | ||
+ | <th>F<sub>12</sub>=-F<sub>21</sub> 或 dp<sub>1</sub>=-dp<sub>2</sub></th> | ||
+ | <th>M<sub>12</sub>=-M<sub>21</sub> 或 dJ<sub>1</sub>=-dJ<sub>2</sub></th> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <th>多體的質心系</th> | ||
+ | <th>總動量必為零</th> | ||
+ | <th>總角動量可以不為零(自旋角動量)</th> | ||
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+ | <tr> | ||
+ | <th>三維空間中</th> | ||
+ | <th>物體可以沿著三個方向平動</th> | ||
+ | <th>物體可以沿著三個方向轉動</th> | ||
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+ | <th>量子力學</th> | ||
+ | <th>無內秉量力數</th> | ||
+ | <th>有自旋量子數</th> | ||
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==角動量守恆的應用== | ==角動量守恆的應用== | ||
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#槍管或炮管加螺旋的膛線,讓子彈或炮彈旋轉,前進時就不會翻滾。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg/917px-Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg' width=80 height=* /> | #槍管或炮管加螺旋的膛線,讓子彈或炮彈旋轉,前進時就不會翻滾。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg/917px-Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg' width=80 height=* /> | ||
#克卜勒第二定律:在相等時間內,太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Kepler-second-law.svg' width=150 height=*/> | #克卜勒第二定律:在相等時間內,太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Kepler-second-law.svg' width=150 height=*/> | ||
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+ | ==相關的上線活動== | ||
+ | #[[撲克飛虎]]:…… | ||
+ | #[[危險邊緣]] | ||
+ | #[[垂直面陀螺]] | ||
+ | #[[兩小無猜]] | ||
+ | #[[你儂我儂]] | ||
+ | #[[火柴火箭(matches rocket)]] | ||
+ | #[[遊龍戲鳳]] | ||
+ | #[[翻雲神龍]] | ||
+ | #[[巧奪天弓]] | ||
+ | #[[飛天神龍]] | ||
+ | #[[兩小無猜_v2]] | ||
+ | #[[掉落的紙]] |
於 2023年1月31日 (二) 09:40 的最新修訂
目錄
原理槪述
角動量守恆定律是指:系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。
在經典力學部分,依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量,該守恆量稱為諾特荷,而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分,所以只適合可微分的連續量:
- 角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。
- 物理系統對於空間平移的不變性(換言之,物理定律不隨著空間中的位置而變化)給出了動量的守恆律
- 對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律
- 諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵
但角動量在量子力學中有更深刻的特性:
- 許多粒子帶有內稟角動量——自旋
- 角動量是分立的、量子化的。
- 各獨立方向的角動量之間不對易。
在古典力學、相對論、量子力學中,以下原理都成立:
- 動量守恆
- 角動量守恆
- 能量守恆
- 電荷守恆
什麼是角動量
- 角動量是向量,其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向,四指為旋轉方向,拇指為角動量方向。
- 角動量(L)的大小=質量(m)|半徑(r)×速度(v)|。
其他的表示法
L = r×p ,動量和到原點位移的叉乘(外積)
L = Iω ,轉動慣量乘以角速度
連心力影響下角動量為什麼會守恆?
一、單位時間(dt)內,質點與心連線的掠面積均相等
前提:
- 有一心,如右圖 O
- 質點呈等速運動前進
推論:
- 單位時間(dt)內,質點與心連線的掠面積均相等
- 此掠面積大小正比於:等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離
以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立
消掉了和 r 平行的那部分(俗稱徑向分量)而保留了和 r 垂直的那部分(俗稱切向分量)。
如右圖:在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生,但可拆解後再合成。
(一)向心運動為 0 時,右圖左
每單位時間的掠面積,以三小塊三角形表示,由於是等速運動,三個 ∆s 均相等(同底),高均為 OH ,同底等高,所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。
(二)向心運動不為 0 時,右圖右
- 第一小段單位時間的掠面積為 △OAB ,等於 △OBC
- C' 為過 C 點平行於 OB 線上的任一點,可能在 C 點左側,也可能在 C 點右側。
- 設 CC' 代表第二小段單位時間的向心位移,必須平行於 OB ,才符合向心運動的定義。
- 代表第二小段單位時間的質點運動為 BC 與 CC' 之合成,即 BC' 。
- 第二小段單位時間的掠面積為 △OBC' ,等於 △OBC(同底等高) ,等於 △OAB(同底等高) 。這一點不論 C' 點在 C 點左側、在 C 點右側或是與 C 點重合都不變。
- 單位時間的掠面積正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。
二、尋找代表質點向心運動掠面積的算符
- 其計算因子:速度 V 徑向r 皆為向量。
- 其計算結果也必須是向量,因為向心運動順時鐘旋轉與逆時鐘旋轉,代表兩組「不同」的向心運動。
- 計算結果大小與等速運動前進線與心之垂直距離成正比。
- 計算結果大小與1/2rVsin(θ)成正比。
綜上,目前「外積」算符與角動量定義最適合用來代表掠面積的大小。
動量與角動量
平動 | 轉動 | |
---|---|---|
守恆量 | 動量守恆 | 角動量守恆 |
計量對象 | 速度 | 掠面速度(方向垂直掠面) |
穩態 | 靜止或勻速直線運動 | 週期和穩定的軌道 |
穩態不變的條件第一定律 | 合外力為零時才不變 | 不受力和受有心力時,掠面積不變,角動量不變 |
計量定義 | 動量 p=mv | 角動量 J=m r×v=r×p |
變化因子第二定律 | 力 F=ma=m dv/dt | 力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt |
兩體時第三定律 | F12=-F21 或 dp1=-dp2 | M12=-M21 或 dJ1=-dJ2 |
多體的質心系 | 總動量必為零 | 總角動量可以不為零(自旋角動量) |
三維空間中 | 物體可以沿著三個方向平動 | 物體可以沿著三個方向轉動 |
量子力學 | 無內秉量力數 | 有自旋量子數 |
角動量守恆的應用
- 讓飛行的紙牌旋轉,紙牌就不會翻滾。
- 舞者或溜冰者,收攏四肢以加快族轉的速度。
- 槍管或炮管加螺旋的膛線,讓子彈或炮彈旋轉,前進時就不會翻滾。
- 克卜勒第二定律:在相等時間內,太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。