數學/分數/乘法

章節對應

	整數	分數
整數	整數×整數	分數×整數
分數	整數×分數	分數×分數

乘法的基本意義

• 重複

蘋果Ｘ 5 ＝ 五顆蘋果

東西 的 重複、複製

• 倍數

3 Ｘ 5 ＝ 15 誰 的 幾倍

• 總量

3（元/顆）Ｘ 5 (顆)＝ 15 （總共幾元）

單位價值 Ｘ 單位數量＝ 總量

• 面積（升維）

3 (cm) Ｘ 5（cm）＝ 15（cm^2） 長 Ｘ 寬

亦可與「總量意涵」對應

一列包含三個單位面積 Ｘ 共有五列 ＝ 總共15個單位面積

分數乘以整數

例：
⅓ X 5 (五個三分之一) = 5/3
⅔ X 5 (五個三分之二) ＝ 10/3

• 探究問題：為什麼整數乘以分數，其結果是：
  1. 分母不變
  2. 分子＝原分子乘以此整數
• 思考過程：
  1. 把⅓ 當成一個單位，⅔ 就是兩個⅓ 的意思（⅓ + ⅓ ）[教具：⅓ 扇形數個]
  2. ⅓ X 5， 五個三分之一：⅓ + ⅓ ＋⅓ + ⅓ + ⅓ ＝5/3
  3. 分數加法處理：相同分母的分數相加，為什麼分子要相加，分母不用相加？
  4. 分母的意義：平均分成幾份；分子的意義：有幾份
  5. ⅔ X 5 ，五個三分之二：（⅓ + ⅓ ）X 5-->（兩份⅓ ）X 5-->10份⅓ -->10/3
  6. 所以原分子乘以此整數的意義是：總共得到幾份
  7. 分母不變是因為：整個過程中使用⅓ 作為單位去計算
• 初階練習：
  扇形教具的拿取＋整理（化成帶分數的感覺）
  • 1. 準備20~30個1/3圓的扇形
    2. 每個小孩抽一張任務牌，任務牌上有數字1~3
    3. 小孩要拿取對應數量的扇形，並說出全部的結果。（例：兩個1/3就是2/3）
    4. 說出正確答案之後，上台將自己手中的扇形貼在黑板上。台下所有的小孩一起算出黑板上所有扇形相加的結果。（例，黑板上原有一個1/3的扇形，一個小孩又放上兩個，所以「總共是1」。若下一個小孩又放上一個1/3的扇形，結果就會變成「3/4或1又1/3」。）

• 進階練習：
  誰有比薩吃？
  • 1. 材料：骰子、分數撲克牌、比薩幣
    2. 故事：老鼠廚師製作比薩，成功做出完整比薩的老鼠才有比薩吃。最後看哪一隻老鼠廚師成功吃到最多片的比薩。
    3. 發給每個小孩一個骰子。全班統一擲骰子，擲出的點數就代表等一下的材料有幾組。躑完骰子後就放桌子前面，不能再碰骰子。
    4. 發下材料卡（分數撲克牌），每人一張，先蓋著。
    5. 全班一起翻開材料卡，小孩各自計算自己的材料是否能做出「完整」的比薩。可以做出完整比薩的老鼠廚師就舉手，讓老師發給比薩幣。（例1：骰子擲出5，拿到1/2的材料卡，就做不出完整的比薩。例2：骰子擲出6，拿到2/3的材料卡，做出4個完整比薩，得到4顆比薩幣。）
    6. 五個輪次後，結算比薩幣，最多的人獲勝。

• 遊戲設計：分數牌「三點半」
• 道具：分數撲克牌、骰子、籌碼、計算紙
• 玩法：
  • 1. 四人一組。選一個玩家當莊家，負責發牌（包含自己）。每一個玩家都有三顆骰子。
    2. 每人先發一張分數牌蓋牌，只有自己可以看到。
    3. 選擇擲骰：玩家可以在每一張牌上選擇「要不要擲骰子加倍」。（例：若底牌為1/2，選擇擲骰子，擲出6，這張牌卡就變成「1/2ｘ6」，就是3）
    4. 除了底牌之外，每個人都要再發兩張牌。
    5. 每張發牌玩家也都可以執行「要不要擲骰子加倍」。
    6. 若手上牌卡的點數超過「三點半」，就「爆炸」，退出遊戲。
    7. 最後大家比點數，最接近「三點半（3又1/2）」者獲勝，獲得一枚籌碼。
    8. 五個輪次後結束，籌碼最多者獲勝。

整數乘以分數

例：
5 Ｘ 1/3 （三分之一個5）= 5/3
3 Ｘ 2/5 （五分之二個3）= 6/5

• 探究問題1：整數乘以分數的意義
  1. 5 Ｘ 1/3唸成「三分之一個5」
  2. 全部是：5
  3. 1/3個5的想像：五個比薩分給三個人，每個人可以吃到多少比薩？
  4. 三個人可以分得全部，所以其中一人可以分得全部的1/3
  5. 其中一人可以分到的部分：「全部」Ｘ 1/3 --> 「5個比薩」 Ｘ 1/3
  6. 5個比薩一起分很難想（小孩可能會覺得：可以分得一個比薩又多一點），可以一個比薩一個比薩來分
  7. 每個比薩分給3個人，每個人都會得到1/3個比薩
  8. 總共有五個比薩，所以每個人可以得到 1/3 Ｘ 5 （唸成五個1/3）＝ 5/3（個比薩）
  9. 回到分數乘以整數，亦同時解釋了「交換率」

• 探究問題2：為什麼整數乘以分數的「運算過程」，其結果：
  1. 分母＝原分母
  2. 分子＝原分子 Ｘ 此整數

分數乘以分數

• 探究問題：為什麼分數乘以分數的結果是
  • 分母：兩數的分母相乘
  • 分子：兩數的分子相乘

• 例：2/3 × 1/5 ＝ 2/15
• 例：b/a × d/c ＝ (b x d) / (a X c)

a：分母1 b：分子1 c：分母2 d：分子2

2/3 × 1/5

1. 唸法：五分之一（1/5）個三分之二 (2/3)
2. 先將2/3想成一個整體，不要管這個整體是多少。
3. 根據「整數乘以分數」的結論，1/5個「這個東西」，就代表「這個東西」「分成五份之後取其中一份」。
4. 「這個東西」「分成五份後取其中一份」的結果就是：「這個東西」× 1（取一份）（乘以分子2）÷ 5（分五份）（除以分母2）
5. 回頭思考「這個東西」是什麼？根據「分數的意義」的結論，2/3就是「一個東西分成三份取其兩份」，也就是1 × 2（取兩份）（乘以分子1）÷ 3（分三份）（除以分母1）
6. 整理以上兩個說法:

2/3 × 1/5＝「1 × 2（乘以分子1）÷ 3（除以分母1）」 × 「1（乘以分子2）÷ 5（除以分母2）」＝（分子1）×（分子2）/ (分母1)（分母2）

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