"簡諧振盪與重力加速度" 修訂間的差異

於 2019年8月7日 (三) 07:51 的修訂

原始設計者：彰師大

藉由觀察壓克力管內水位改變並與彈簧之簡諧震盪做連結，進而求出重力加速度g值。

實驗材料：

1. 壓克力管1支
2. 水桶1個
3. 浮標1個
4. 皮尺1條
5. 碼表1個
6. 白紙若干張
7. 膠帶1捲
8. 剪刀1支
9. 原子筆1支

1.現象說明

2.探究問題（此為引導，學習者必須要提出合理的假說）

2.1思考彈簧壓縮和伸長時的內部受力情形。
2.2思考壓克力管內水位變化時內部受力情形。
2.3思考壓克力管內水位變化時與彈簧收縮時的共通點。
2.4思考壓克力管內水位震盪週期如何測量。

3.實作項目

3.1 設計出一項實驗，得出水柱震盪半週期。
- 3.1.1實驗數據圖

- 3.1.2 分析實驗結果

3.2 試著取適當的物理量，線性回歸出重力加速度
- 3.2.1實驗數據圖

- 3.2.2 分析實驗結果

4.分析與結論

4.1 能從前述所記錄數據與繪製的數據圖中，分析出相關趨勢，結論出可能之定性關係。
4.2 能進一步從記錄之數據與繪製之數據圖中，粹取出相關重要物理量，進一步繪製關係圖，結論出定量關係式。
4.3 能從所記錄數據與繪製的數據圖中，瞭解還有額外需要設計實驗與執行的項目。

5.教學目標與評量

5.1 加深簡諧運動相關概念連結。
5.2 利用現有器材資源，與學習到的知識。考驗學生能否融會貫通，以及取適當物理量來實驗分析。
5.3 讓學生學習科學素養，即探究現象、提出假說、實驗證明假說，最後精緻化結果。

6.參考資料

[1] 臺灣省嘉義區107學年度高級中學數理及資訊學科能力競賽

7. 參考說明

2.1思考彈簧壓縮和伸長時的內部受力情形。

藉由分析彈簧受力幫助學生複習彈力公式為Fk＝－kΔx，之後再去引導學生說出等號右邊之負號，是因為恢復力方向和伸長量相反，因此彈簧受力形變後會回復到原本未受力時的樣子。

2.2思考壓克力管內水位變化時內部受力情形。

管內水的質量為m=lAρ，A為管子的截面積，ρ為水的密度，l為水管內之水柱高。當水到達最低點時此時的v為0，因此F=ma=lAρa；而－∆xAρ是管內水柱脫離平衡高度時質量的變化量。

2.3思考壓克力管內水位變化時與彈簧收縮時的共通點。

在壓克力管中因為只有重力做功因此可得功W=∫▒〖FdS=〗 ∫▒〖mgdx=∫▒〖Aρxgdx=1/2 Aρgx^2=1/2〗〗 kx^2，可得壓克力管內水震盪之力常數k=Aρg，因m=lAρ所以得m/k=l/g帶入簡諧震盪周期公式T=2π√(m/k)=2π√(l/g)，又因水面下壓克力管總長度l可以表示為l=l_x+l_0，其中l_x為管內水面到平衡點之距離，l_0為最低點到管末端之距離，所以可得T=2π√((l_x+l_0)/g)又經過整理後可以得到l_x=(g/(4π^2 )) T^2-l_0。

2.4思考壓克力管內水位震盪週期如何測量。

由於水柱從低點振盪至高點與高點振盪至低點所需之週期不一定相同，所以將各次的半週期分別作記錄。

3.1 設計出一項實驗，得出水柱震盪半週期。

3.1.1實驗數據圖

3.1.2分析實驗結果

因水面上下振盪時，由低點振盪至高點與高點振盪至低點所需之週期不一定相同，所以將各次半週期分別作記錄。發現第1個半週期與其他半週期之所需時間相差甚遠，視為極端值不列入數據處理。因此，將第2次半週期加上第3次半週期為一次完整振盪所需週期，第3次半週期加上第4次半週期為一次完整振盪所需週期，將這些數據平均後可得出下壓深度為10cm產生的簡諧振盪週期為0.83。

3.2 試著取適當的物理量，線性回歸出重力加速度

3.2.1實驗數據圖

3.2.2分析實驗結果

為了將l_x對T^2作圖並畫出回歸曲線，進一步改變不同的下壓深度l_x並量測其對應的週期。相同的下壓深度l_x重覆量測4次，從線性迴歸可以推得斜率為0.246，根據(5)可換算出量測之重力加速度為9.71 m/s2，誤差值為0.9%

@@ 行 56： / 行 56： @@
 *3.1	設計出一項實驗，得出水柱震盪半週期。
 **3.1.1實驗數據圖
-<img  src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/%E7%B0%A1%E8%AB%A7%E6%8C%AF%E7%9B%AA%E5%92%8C%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A61.png'/>
+<img style="width:50%" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/%E7%B0%A1%E8%AB%A7%E9%9C%87%E7%9B%AA%E8%88%87%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6_01.png'/>
 **3.1.2	分析實驗結果
@@ 行 63： / 行 63： @@
 *3.2 試著取適當的物理量，線性回歸出重力加速度
 **3.2.1實驗數據圖
-<img  src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fe/%E7%B0%A1%E8%AB%A7%E6%8C%AF%E7%9B%AA%E5%92%8C%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A62.png'/>
+<img style="width:50%" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5f/%E7%B0%A1%E8%AB%A7%E9%9C%87%E7%9B%AA%E8%88%87%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6_02.png'/>
 **3.2.2	分析實驗結果
@@ 行 80： / 行 80： @@
 ==6.參考資料==
 [1]  臺灣省嘉義區107學年度高級中學數理及資訊學科能力競賽
+==7.	參考說明==
+*2.1思考彈簧壓縮和伸長時的內部受力情形。
+	藉由分析彈簧受力幫助學生複習彈力公式為Fk＝－kΔx，之後再去引導學生說出等號右邊之負號，是因為恢復力方向和伸長量相反，因此彈簧受力形變後會回復到原本未受力時的樣子。
+*2.2思考壓克力管內水位變化時內部受力情形。
+管內水的質量為m=lAρ，A為管子的截面積，ρ為水的密度，l為水管內之水柱高。當水到達最低點時此時的v為0，因此F=ma=lAρa；而－∆xAρ是管內水柱脫離平衡高度時質量的變化量。
+*2.3思考壓克力管內水位變化時與彈簧收縮時的共通點。
+	在壓克力管中因為只有重力做功因此可得功W=∫▒〖FdS=〗 ∫▒〖mgdx=∫▒〖Aρxgdx=1/2 Aρgx^2=1/2〗〗 kx^2，可得壓克力管內水震盪之力常數k=Aρg，因m=lAρ所以得m/k=l/g帶入簡諧震盪周期公式T=2π√(m/k)=2π√(l/g)，又因水面下壓克力管總長度l可以表示為l=l_x+l_0，其中l_x為管內水面到平衡點之距離，l_0為最低點到管末端之距離，所以可得T=2π√((l_x+l_0)/g)又經過整理後可以得到l_x=(g/(4π^2 )) T^2-l_0。
+*2.4思考壓克力管內水位震盪週期如何測量。
+	由於水柱從低點振盪至高點與高點振盪至低點所需之週期不一定相同，所以將各次的半週期分別作記錄。
+*3.1 設計出一項實驗，得出水柱震盪半週期。
+:*3.1.1實驗數據圖
+<img style="width:50%" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9d/%E7%B0%A1%E8%AB%A7%E9%9C%87%E7%9B%AA%E8%88%87%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6_03.png"/>
+:*3.1.2分析實驗結果
+因水面上下振盪時，由低點振盪至高點與高點振盪至低點所需之週期不一定相同，所以將各次半週期分別作記錄。發現第1個半週期與其他半週期之所需時間相差甚遠，視為極端值不列入數據處理。因此，將第2次半週期加上第3次半週期為一次完整振盪所需週期，第3次半週期加上第4次半週期為一次完整振盪所需週期，將這些數據平均後可得出下壓深度為10cm產生的簡諧振盪週期為0.83。
+<img style="width:50%" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/88/%E7%B0%A1%E8%AB%A7%E9%9C%87%E7%9B%AA%E8%88%87%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6_04.png"/>
+*3.2          試著取適當的物理量，線性回歸出重力加速度
+:*3.2.1實驗數據圖
+:*3.2.2分析實驗結果
+為了將l_x對T^2作圖並畫出回歸曲線，進一步改變不同的下壓深度l_x並量測其對應的週期。相同的下壓深度l_x重覆量測4次，從線性迴歸可以推得斜率為0.246，根據(5)可換算出量測之重力加速度為9.71 m/s2，誤差值為0.9%