圓柱體於黏滯液體中的運動

原始設計者：彰師大

一個圓柱體在液體中緩慢下降時，會遭受阻力，並且圓柱體落下速度比球體快，請探究此現象。

實驗材料：

壓克力圓筒（60mm）
甘油液體：1000ml
直徑4mm與9.7mm的鋁圓球各5個，鋁的密度為2.72g/m3
直徑6mm、8mm、10mm、12mm的鋁圓柱各一個
分段計時的碼錶1個
游標尺1支
直尺1支
夾子1支
燒杯1個
乳膠手套1雙

1.現象說明

顯示小球和圓柱體分別於黏滯液體中的落下速度不同。

2.探究問題（此為引導，學習者必須要提出合理的假說）

2.1 思考圓柱體與小球於液體中落下，其速度不同的原因為何?
2.2 給予學生討論的時間，小組內思考該現象的成因，受何種力? 如何證明自己假說正確?
2.3 物體於黏滯性液體中落下，其終端速度和液體密度是否相關? 如何實驗得出液體密度?
2.4 物體於黏滯性液體中落下，其終端速度和黏滯係數是否相關? 如何實驗得出黏滯係數?
2.5 探討還有哪些可能的變數?

3.實作項目

3.1 設計出一項實驗，探究圓柱體在液體中掉落的距離與時間關係。
- 3.1.1 實驗數據圖
- 3.1.2 分析實驗結果

3.2 設計出一項實驗，得出液體密度。
- 3.2.1 實驗數據圖
- 3.2.2 分析實驗結果

3.3 設計出一項實驗，得出黏滯係數。
- 3.3.1 實驗數據圖
- 3.3.2 分析實驗結果

4.分析與結論

4.1 能從前述所記錄數據與繪製的數據圖中，分析出相關趨勢，結論出可能之定性關係。
4.2 能進一步從記錄之數據與繪製之數據圖中，粹取出相關重要物理量，進一步繪製關係圖，結論出定量關係式。
4.3 能從所記錄數據與繪製的數據圖中，瞭解還有需要設計實驗與執行的項目。

5.教學目標與評量

5.1 建構圓柱體的斯托克斯定律。
5.2 從需要修正公式這點，讓學生了解當前的理論都是最佳猜測假說。
5.3 利用現有器材資源，與學習到的知識，設計實驗求得出液體密度、黏滯係數。考驗學生能否融會貫通，以及取適當物理量來實驗分析。
5.4 讓學生學習科學素養，即探究現象、提出假說、實驗證明假說，最後精緻化結果。

6.參考資料

97年雲嘉區物理科學科能力競賽實驗試題

7.參考說明

1. 思考圓柱體與小球於液體中落下，其速度不同的原因為何?

教師引導學生思考與探究此題目，先讓學生回想之前學過的球體再黏滯液體中掉落速率很小，球也很小，而且液體在各方向都是無限寬廣，那麼小球所受的黏滯力遵守斯托克斯定律為 F=6πηrV ，其中η稱為黏滯係數;V是小球落下的速度;r是小球的半徑。然而球體和圓柱體的對稱形狀不同，所受到的黏滯力也會不同，在此埋下黏滯力公式修正的必要性。

2. 給予學生討論的時間，小組內思考該現象的成因，是否應修正公式? 如何修正公式 ? 如何證明自己假說正確?

引導學生討論出斯托克斯定律需要修正。讓學生自行猜想該如何修正，或教師給予幾種選擇，引導或直接告知學生修正方式，例如: F=6πηr^mV 、F=6πηrV^m、F=6πηrVm ，其中m是常數。
讓學生設計實驗步驟與方法，依據可以整理出的相關參數，自行規劃相關實驗，尤其注重以實驗數據圖呈現出相關參數造成的實驗結果，並試著從圖中萃取出重要的物理量。

參考: 以F=6πηr^mV為例，當圓柱體在甘油中落下的速度達到一個恆定值，即達到終端速度時，圓柱體受力達到平衡，即有

式中V=2πr³是圓柱體的體積，於是可得

V_pg = V_p'g + 6πηr^m V_T

V_T = (g/3η) r^3-m (p-p')......(A1)

由下降距離L(30cm)和測量之時間(t)，可得 V_T = L/t ，結合式(A2)便可得

V_T = L/t = (g/3kη) r^3-m (p-p') = cr^3-m (p-p') ，c為 g/3kη

式子兩邊同取ln，即得

ln(L/t) = ln(p-p')c + (3-m) ln(r)

⇒ ln(⁡t) = (m-3)ln(r) + ln(L) - ln(p-p')c

取不同直徑的鋁圓球體，在固定距離內量測其落下時間t，並描繪ln⁡ t-ln ⁡r圖形，由上式得知圖形應為直線，由直線的斜率就可以求出指數m

圖中斜率為-1.019，由此可以得到 m - 3 = -1.019 ⇒ m = 1.98

3. 物體於黏滯性液體中落下，其終端速度和液體密度是否相關? 如何實驗得出液體密度?

參考：從學生實驗結果當中引導出式(A1)。接著讓學生設計實驗步驟與方式，量測液體密度根據式(A1)，因為m相且也相同，故V_T-ρ為線性關係因此可得知V_T=L/t ∝ρ→ 1/t ∝ρ

如下圖所示

直線在ρ軸上的截距即為ρ′，所以為ρ′=1.252x10³ kg/m³，而實驗所用之甘油密度為1.25以上，所得出結果相當吻合。

4.物體於黏滯性液體中落下，其終端速度和黏滯係數是否相關? 如何實驗得出黏滯係數?

讓學生設計實驗與步驟，利用所求得的甘油密度跟提供的圓柱體推得黏滯係數
參考:
根據式(A1)
V_t=gr²(ρ-ρ′)/3η
整理後得ηV_t=gr²(ρ-ρ′)/3 ，另Y= gr²(ρ-ρ′)/3、X=V_t作圖，斜率即是黏滯係數η

5.探討還有哪些可能的變數?

從受力 Vρg=Vρ' g+6πηr^m V_T 來看，其中體積V和半徑r有關，會影響的變數就是半徑r、物體密度ρ、液體密度ρ^'以及黏滯係數η。