角動量守恆

原理槪述

角動量守恆定律是指：系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。

在經典力學部分，依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量，該守恆量稱為諾特荷，而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分，所以只適合可微分的連續量：

1. 角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。
2. 物理系統對於空間平移的不變性(換言之，物理定律不隨著空間中的位置而變化)給出了動量的守恆律
3. 對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律

諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵

諾特定理的量子化版本是沃德-高橋恆等式(Ward-Takahashi)，也會產生出更多的守恆定律：

1. 從電勢和向量勢的規範不變性得出電荷的守恆

但角動量在量子力學中有更深刻的特性：

1. 許多粒子帶有內稟角動量——自旋
2. 角動量是分立的、量子化的。
3. 各獨立方向的角動量之間不對易。

什麼是角動量

1. 角動量是向量，其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向，四指為旋轉方向，拇指為角動量方向。
2. 角動量(L)的大小＝半徑(r)×質量(m)×速度(v)。

其他的表示法

L = r×p ，動量和到原點位移的叉乘(外積)

L = I×ω ，轉動慣量乘以角速度

角動量為什麼會守恆？

一、單位時間(dt)內，質點與心連線的掠面積均相等

前提：

1. 有一心，如右圖 O
2. 質點呈等速運動前進

推論：

1. 單位時間(dt)內，質點與心連線的掠面積均相等
2. 此掠面積大小正比於：等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離

以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立

消掉了和 r 平行的那部分(俗稱徑向分量)而保留了和 r 垂直的那部分(俗稱切向分量)。

如右圖：在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生，但可拆解後再合成。

(一)向心運動為 0 時，右圖左

每單位時間的掠面積，以三小塊三角形表示，由於是等速運動，三個 ∆s 均相等(同底)，高均為 OH ，同底等高，所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。

(二)向心運動不為 0 時，右圖右

1. 第一小段單位時間的掠面積為 △OAB ，等於 △OBC
2. C' 為過 C 點平行於 OB 線上的任一點，可能在 C 點左側，也可能在 C 點右側。
3. 設 CC' 代表第二小段單位時間的向心位移，必須平行於 OB ，才符合向心運動的定義。
4. 代表第二小段單位時間的質點運動為 BC 與 CC' 之合成，即 BC' 。
5. 第二小段單位時間的掠面積為 △OBC' ，等於 △OBC(同底等高) ，等於 △OAB(同底等高) 。這一點不論 C' 點在 C 點左側、在 C 點右側或是與 C 點重合都不變。
6. 單位時間的掠面積正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。

二、尋找代表質點向心運動掠面積的算符

1. 其計算因子：速度 V 為向量。
2. 其計算結果也必須是向量，因為向心運動順時鐘旋轉與逆時鐘旋轉，代表兩組「不同」的向心運動。
3. 計算結果大小與等速運動前進線與心之垂直距離成正比。
4. 計算結果大小與速度 V 大小成正比。

綜上，目前「外積」算符與角動量定義最適合用來代表掠面積的大小。

動量與角動量

	平動	轉動
守恆量	動量守恆	角動量守恆
計量對象	速度	掠面速度(勻速圓周運動時掠面速度退化為角速度)
穩態	靜止或勻速直線運動	周期和穩定的軌道
穩態不變的條件第一定律	合外力為零時才不變	不受力和受有心力時，掠面積不變，角動量不變
計量定義	動量 p=mv	角動量 J=m r×v=r×p
變化因子第二定律	力 F=ma=m dv/dt	力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt
兩體時第三定律	F12=-F12 或 dp1=-dp2	M12=-M12 或 dJ1=-dJ2
多體質心系	總動量必為零	總角動量可以不為零(自旋角動量)
三維空間中	物體可以沿著三個方向平動	物體可以沿著三個方向轉動
量子力學	無內秉量力數	有自旋量子數

角動量守恆的應用

1. 讓飛行的紙牌旋轉，紙牌就不會翻滾。
2. 舞者或溜冰者，收攏四肢以加快族轉的速度。
3. 槍管或炮管加螺旋的膛線，讓子彈或炮彈旋轉，前進時就不會翻滾。
4. 克卜勒第二定律：在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。