泡泡的化學與數學

吹泡泡是最簡單的遊戲，將洗碗精或肥皂溶在水裡，便可以吹出泡泡。將各種形狀的空心體放到肥皂水中，我們會看到各種幾何形狀的肥皂膜。                  

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1.現象說明

泡泡是洗碗精或肥皂中的介面活性劑組成的雙層模。各種形式的泡泡，都和最小面積有關，例如單一泡泡約為圓形，而圓形是包含相同體積的所有幾何形狀中表面積最小的。各種幾何的泡泡也是某些數學問題的解答。

2.探究問題

泡泡雙層模具有表面張力，張力的大小和方向與泡泡面的彎曲程度有關。藉著吹泡泡，製造各種形狀的泡泡膜，探究泡泡的幾何和數學。利用數學計算，獲得多點之間最短路徑的答案，並利用微分證明之。

3.實作項目

• 3.1 配置各種肥皂水，比較加入和未加入少量甘油或果糖的洗碗精溶液 ，觀察何者可以吹出較持久、較大的泡泡。
• 3.2 在吸管即將要將泡泡吹離之前，將嘴從吸管移開，觀察泡泡有何變化? 將幾個泡泡吹在桌上，讓泡泡相連，描述泡泡相連的表面，以及和空氣接觸的面的形狀。嘗試讓兩個大小不同的泡泡相連，觀察共同表面的形狀。
• 3.3 以前述實驗的結果，配置肥皂水於臉盆或水桶中。將以下各種形狀的東西置於泡泡水中，試繪出泡泡膜的形狀。試著打破一或兩個膜，觀察膜面的變化

(1) 四面體 (2) 八面體 (3) 長方形 (含兩條繩子，試著旋轉兩支木棒) (4) 雙ㄇ形:

• 3.4 將以下各種形狀的柱體置於泡泡水中，試繪出泡泡膜的形狀。(1) 正三角形 (2) 正四邊形 及 (3) 正五邊形 ，從透明玻璃面觀察膜面的形狀，其畫出膜與頂點連線的方式，有些形狀會得到不只一種圖形，多試幾次。

(1) 正三角形

(2) 正四邊形

(3) 正五邊形

4.分析與結論

• 4.1 我們使用的洗潔精、果糖及甘油的分子式如下，描述(繪出)泡泡的雙層膜(以親水/疏水端圖示)，及果糖和甘油在泡泡中的可能位置。

• 4.2 泡泡內的氣壓比外面的氣壓大或小? 如何證明? 泡泡膜所受的表面張力(如下圖)之方向為何? 以箭頭呈現之。泡泡膜的表面張力和泡泡大小的關係為何?

• 4.3 雙ㄇ形產生的馬鞍形泡泡膜如何穩定的呢? 試以上圖說明知。
• 4.4 正多邊柱體的泡泡，其實是以下數學問題的答案(以正方形為例): 一個邊長為l的正方形的四間房子(如下圖)，連接它們的馬路之最短距離為何?

上圖中，連接四個點直線長度為 3l。試計算以下三種連線的長度:

從你的計算結果，你認為哪一種圖形可能是最後的答案? 有沒有其他可能的連接法?

泡泡的形狀如下，設中間線段長度為x:

寫出以x 為變數的總長度 L(x) 表示式:

代入x值計算L(x):

將x值每隔0.1代入式中，找出最小L(x) 值可能的x範圍，再以每隔0.01代入式中，求出最小L(x) 值及其對應 x 值。

將計算結果繪圖於下

求上圖極低點:

5.教學目標與評量

• 5.1 能實際配置，操作 ，獲得初步結論。
• 5.2 能從實驗中知道泡泡表面張力的方向 ，理解開放的鞍形泡泡膜可以穩定。
• 5.3能從正方形的最小路徑的簡易計算，知道其最小路徑的約略形狀 。由此推導出路徑總長公式，並以代入法逼近最短路徑，從操作中體會此數學問題可以利用微分求解。
• 5.4 一個進階且開放式的問題，可以讓同學思考: 為什麼泡泡膜的形狀「恰好」是這個數學問題的答案呢?
• 5.5 另一個進階問題是: 為什麼某些幾何可以製造出不只一種形狀的泡泡膜呢?

6.參考資料

• 6.1 參考文獻

[1] “冒泡的美” 科學發展月刊 : http://experiment.phys.nchu.edu.tw/EZphysics/ex_h/788-796.pdf

[2] 泡泡的數學影片: https://www.youtube.com/watch?v=m0jxX67ghPA

[3] 楊-拉普拉斯方程式  : https://zh.wikipedia.org/wiki/杨-拉普拉斯公式