"角動量守恆" 修訂間的差異

出自 全民科學平台
前往: 導覽搜尋
(向心運動為 0 時,右圖右)
(動量與角動量)
 
(未顯示由 3 位使用者於中間所作的 33 次修訂)
行 1: 行 1:
 +
[[分類:觀念或原理]]
 
==原理槪述==
 
==原理槪述==
 
角動量守恆定律是指:系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。
 
角動量守恆定律是指:系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。
  
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-collapsetext="展開">
 
在經典力學部分,依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量,該守恆量稱為諾特荷,而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分,所以只適合可微分的連續量:
 
在經典力學部分,依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量,該守恆量稱為諾特荷,而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分,所以只適合可微分的連續量:
 
#角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。
 
#角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。
行 7: 行 9:
 
#對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律
 
#對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律
 
:諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵
 
:諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵
 
+
</div>
諾特定理的量子化版本是沃德-高橋恆等式(Ward-Takahashi),也會產生出更多的守恆定律:
 
#從電勢和向量勢的規範不變性得出電荷的守恆
 
  
 
但角動量在量子力學中有更深刻的特性:
 
但角動量在量子力學中有更深刻的特性:
行 15: 行 15:
 
#角動量是分立的、量子化的。
 
#角動量是分立的、量子化的。
 
#各獨立方向的角動量之間不對易。
 
#各獨立方向的角動量之間不對易。
 +
 +
在古典力學、相對論、量子力學中,以下原理都成立:
 +
#動量守恆
 +
#角動量守恆
 +
#能量守恆
 +
#電荷守恆
  
 
==什麼是角動量==
 
==什麼是角動量==
 
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Angular_momentum_circle.svg' width=150 height=* /></div>
 
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Angular_momentum_circle.svg' width=150 height=* /></div>
 
#角動量是向量,其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向,四指為旋轉方向,拇指為角動量方向。
 
#角動量是向量,其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向,四指為旋轉方向,拇指為角動量方向。
#角動量(L)的大小=半徑(r)×質量(m)×速度(v)。
+
#角動量(L)的大小=質量(m)|半徑('''r''')×速度('''v''')|
 
'''其他的表示法'''
 
'''其他的表示法'''
  
L = r×p ,動量和到原點位移的叉乘(外積)
+
'''L''' = '''r'''×'''p''' ,動量和到原點位移的叉乘(外積)
 
 
L = I×ω ,轉動慣量乘以角速度
 
  
 +
L = Iω ,轉動慣量乘以角速度
  
==角動量為什麼會守恆?==
+
==連心力影響下角動量為什麼會守恆?==
===單位時間(dt)內,質點與心連線的掠面積均相等===
+
===一、單位時間(dt)內,質點與心連線的掠面積均相等===
 
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/CentripetalDisplacementAndEqualSweepArea.svg' width=420 height=320 /></div>
 
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/CentripetalDisplacementAndEqualSweepArea.svg' width=420 height=320 /></div>
 
前提:
 
前提:
行 37: 行 42:
 
#此掠面積大小正比於:等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離
 
#此掠面積大小正比於:等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離
 
以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立
 
以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立
 +
 +
消掉了和 r 平行的那部分(俗稱徑向分量)而保留了和 r 垂直的那部分(俗稱切向分量)。
  
 
如右圖:在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生,但可拆解後再合成。
 
如右圖:在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生,但可拆解後再合成。
====向心運動為 0 時,右圖右====
+
====(一)向心運動為 0 時,右圖左====
每單位時間的掠面積,以三小塊三角形表示,由於是等速運動,三個 ∆s 均相等(同底),高均為 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> ,同底等高,所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與運動
+
每單位時間的掠面積,以三小塊三角形表示,由於是等速運動,三個 ∆s 均相等(同底),高均為 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> ,同底等高,所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> 之乘積。
 +
 
 +
====(二)向心運動不為 0 時,右圖右====
 +
#第一小段單位時間的掠面積為 △OAB ,等於 △OBC
 +
#C' 為過 C 點平行於 <span style='text-decoration:overline'>OB</span> 線上的任一點,可能在 C 點左側,也可能在 C 點右側。
 +
#設 <span style='text-decoration:overline'>CC'</span> 代表第二小段單位時間的向心位移,必須平行於 <span style='text-decoration:overline'>OB</span> ,才符合向心運動的定義。
 +
#代表第二小段單位時間的質點運動為 <span style='text-decoration:overline'>BC</span> 與 <span style='text-decoration:overline'>CC'</span> 之合成,即 <span style='text-decoration:overline'>BC'</span> 。
 +
#第二小段單位時間的掠面積為 △OBC' ,等於 △OBC(同底等高) ,等於 △OAB(同底等高) 。這一點不論 C' 點在 C 點左側、在 C 點右側或是與 C 點重合都不變。
 +
#單位時間的掠面積正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> 之乘積。
 +
 
 +
===二、尋找代表質點向心運動掠面積的算符===
 +
#其計算因子:速度 V 徑向r 皆為向量。
 +
#其計算結果也必須是向量,因為向心運動順時鐘旋轉與逆時鐘旋轉,代表兩組「不同」的向心運動。
 +
#計算結果大小與等速運動前進線與心之垂直距離成正比。
 +
#計算結果大小與1/2rVsin(θ)成正比。
 +
綜上,目前「外積」算符與角動量定義最適合用來代表掠面積的大小。
 +
 
 +
==動量與角動量==
 +
<table class=nicetable>
 +
<tr>
 +
<th></th>
 +
<th>平動</th>
 +
<th>轉動</th>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<th>守恆量</th>
 +
<th>動量守恆</th>
 +
<th>角動量守恆</th>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<th>計量對象</th>
 +
<th>速度</th>
 +
<th>掠面速度(方向垂直掠面)</th>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<th>穩態</th>
 +
<th>靜止或勻速直線運動</th>
 +
<th>週期和穩定的軌道</th>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<th>穩態不變的條件<sub>第一定律</sub></th>
 +
<th>合外力為零時才不變</th>
 +
<th>不受力和受有心力時,掠面積不變,角動量不變</th>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<th>計量定義</th>
 +
<th>動量 p=mv</th>
 +
<th>角動量 J=m r×v=r×p </th>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<th>變化因子<sub>第二定律</sub></th>
 +
<th>力 F=ma=m dv/dt</th>
 +
<th>力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt</th>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<th>兩體時<sub>第三定律</sub></th>
 +
<th>F<sub>12</sub>=-F<sub>21</sub> 或 dp<sub>1</sub>=-dp<sub>2</sub></th>
 +
<th>M<sub>12</sub>=-M<sub>21</sub> 或 dJ<sub>1</sub>=-dJ<sub>2</sub></th>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<th>多體的質心系</th>
 +
<th>總動量必為零</th>
 +
<th>總角動量可以不為零(自旋角動量)</th>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<th>三維空間中</th>
 +
<th>物體可以沿著三個方向平動</th>
 +
<th>物體可以沿著三個方向轉動</th>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<th>量子力學</th>
 +
<th>無內秉量力數</th>
 +
<th>有自旋量子數</th>
 +
</tr>
 +
</table>
  
 
==角動量守恆的應用==
 
==角動量守恆的應用==
行 47: 行 128:
 
#槍管或炮管加螺旋的膛線,讓子彈或炮彈旋轉,前進時就不會翻滾。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg/917px-Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg' width=80 height=* />
 
#槍管或炮管加螺旋的膛線,讓子彈或炮彈旋轉,前進時就不會翻滾。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg/917px-Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg' width=80 height=* />
 
#克卜勒第二定律:在相等時間內,太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Kepler-second-law.svg' width=150 height=*/>
 
#克卜勒第二定律:在相等時間內,太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Kepler-second-law.svg' width=150 height=*/>
 +
 +
==相關的上線活動==
 +
#[[撲克飛虎]]:……
 +
#[[危險邊緣]]
 +
#[[垂直面陀螺]]
 +
#[[兩小無猜]]
 +
#[[你儂我儂]]
 +
#[[火柴火箭(matches rocket)]]
 +
#[[遊龍戲鳳]]
 +
#[[翻雲神龍]]
 +
#[[巧奪天弓]]
 +
#[[飛天神龍]]
 +
#[[兩小無猜_v2]]
 +
#[[掉落的紙]]

於 2023年1月31日 (二) 09:40 的最新修訂

原理槪述

角動量守恆定律是指:系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。

在經典力學部分,依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量,該守恆量稱為諾特荷,而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分,所以只適合可微分的連續量:

  1. 角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。
  2. 物理系統對於空間平移的不變性(換言之,物理定律不隨著空間中的位置而變化)給出了動量的守恆律
  3. 對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律
諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵

但角動量在量子力學中有更深刻的特性:

  1. 許多粒子帶有內稟角動量——自旋
  2. 角動量是分立的、量子化的。
  3. 各獨立方向的角動量之間不對易。

在古典力學、相對論、量子力學中,以下原理都成立:

  1. 動量守恆
  2. 角動量守恆
  3. 能量守恆
  4. 電荷守恆

什麼是角動量

  1. 角動量是向量,其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向,四指為旋轉方向,拇指為角動量方向。
  2. 角動量(L)的大小=質量(m)|半徑(r)×速度(v)|。

其他的表示法

L = r×p ,動量和到原點位移的叉乘(外積)

L = Iω ,轉動慣量乘以角速度

連心力影響下角動量為什麼會守恆?

一、單位時間(dt)內,質點與心連線的掠面積均相等

前提:

  1. 有一心,如右圖 O
  2. 質點呈等速運動前進

推論:

  1. 單位時間(dt)內,質點與心連線的掠面積均相等
  2. 此掠面積大小正比於:等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離

以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立

消掉了和 r 平行的那部分(俗稱徑向分量)而保留了和 r 垂直的那部分(俗稱切向分量)。

如右圖:在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生,但可拆解後再合成。

(一)向心運動為 0 時,右圖左

每單位時間的掠面積,以三小塊三角形表示,由於是等速運動,三個 ∆s 均相等(同底),高均為 OH ,同底等高,所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。

(二)向心運動不為 0 時,右圖右

  1. 第一小段單位時間的掠面積為 △OAB ,等於 △OBC
  2. C' 為過 C 點平行於 OB 線上的任一點,可能在 C 點左側,也可能在 C 點右側。
  3. CC' 代表第二小段單位時間的向心位移,必須平行於 OB ,才符合向心運動的定義。
  4. 代表第二小段單位時間的質點運動為 BCCC' 之合成,即 BC'
  5. 第二小段單位時間的掠面積為 △OBC' ,等於 △OBC(同底等高) ,等於 △OAB(同底等高) 。這一點不論 C' 點在 C 點左側、在 C 點右側或是與 C 點重合都不變。
  6. 單位時間的掠面積正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。

二、尋找代表質點向心運動掠面積的算符

  1. 其計算因子:速度 V 徑向r 皆為向量。
  2. 其計算結果也必須是向量,因為向心運動順時鐘旋轉與逆時鐘旋轉,代表兩組「不同」的向心運動。
  3. 計算結果大小與等速運動前進線與心之垂直距離成正比。
  4. 計算結果大小與1/2rVsin(θ)成正比。

綜上,目前「外積」算符與角動量定義最適合用來代表掠面積的大小。

動量與角動量

平動 轉動
守恆量 動量守恆 角動量守恆
計量對象 速度 掠面速度(方向垂直掠面)
穩態 靜止或勻速直線運動 週期和穩定的軌道
穩態不變的條件第一定律 合外力為零時才不變 不受力和受有心力時,掠面積不變,角動量不變
計量定義 動量 p=mv 角動量 J=m r×v=r×p
變化因子第二定律 力 F=ma=m dv/dt 力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt
兩體時第三定律 F12=-F21 或 dp1=-dp2 M12=-M21 或 dJ1=-dJ2
多體的質心系 總動量必為零 總角動量可以不為零(自旋角動量)
三維空間中 物體可以沿著三個方向平動 物體可以沿著三個方向轉動
量子力學 無內秉量力數 有自旋量子數

角動量守恆的應用

  1. 讓飛行的紙牌旋轉,紙牌就不會翻滾。
  2. 舞者或溜冰者,收攏四肢以加快族轉的速度。
  3. 槍管或炮管加螺旋的膛線,讓子彈或炮彈旋轉,前進時就不會翻滾。
  4. 克卜勒第二定律:在相等時間內,太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。

相關的上線活動

  1. 撲克飛虎:……
  2. 危險邊緣
  3. 垂直面陀螺
  4. 兩小無猜
  5. 你儂我儂
  6. 火柴火箭(matches rocket)
  7. 遊龍戲鳳
  8. 翻雲神龍
  9. 巧奪天弓
  10. 飛天神龍
  11. 兩小無猜_v2
  12. 掉落的紙