角動量守恆

出自 全民科學平台
於 2023年1月17日 (二) 07:05 由 鄭愷修 (對話 | 貢獻) 所做的修訂 (什麼是角動量)
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原理槪述

角動量守恆定律是指:系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。

在經典力學部分,依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量,該守恆量稱為諾特荷,而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分,所以只適合可微分的連續量:

  1. 角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。
  2. 物理系統對於空間平移的不變性(換言之,物理定律不隨著空間中的位置而變化)給出了動量的守恆律
  3. 對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律
諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵

諾特定理的量子化版本是沃德-高橋恆等式(Ward-Takahashi),也會產生出更多的守恆定律:

  1. 從電勢和向量勢的規範不變性得出電荷的守恆

但角動量在量子力學中有更深刻的特性:

  1. 許多粒子帶有內稟角動量——自旋
  2. 角動量是分立的、量子化的。
  3. 各獨立方向的角動量之間不對易。

在古典力學、相對論、量子力學中,以下原理都成立:

  1. 動量守恆
  2. 角動量守恆
  3. 能量守恆
  4. 電荷守恆

什麼是角動量

  1. 角動量是向量,其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向,四指為旋轉方向,拇指為角動量方向。
  2. 角動量(L)的大小=質量(m)|半徑(r)×速度(v)|。

其他的表示法

L = r×p ,動量和到原點位移的叉乘(外積)

L = Iω ,轉動慣量乘以角速度

角動量為什麼會守恆?

一、單位時間(dt)內,質點與心連線的掠面積均相等

前提:

  1. 有一心,如右圖 O
  2. 質點呈等速運動前進

推論:

  1. 單位時間(dt)內,質點與心連線的掠面積均相等
  2. 此掠面積大小正比於:等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離

以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立

消掉了和 r 平行的那部分(俗稱徑向分量)而保留了和 r 垂直的那部分(俗稱切向分量)。

如右圖:在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生,但可拆解後再合成。

(一)向心運動為 0 時,右圖左

每單位時間的掠面積,以三小塊三角形表示,由於是等速運動,三個 ∆s 均相等(同底),高均為 OH ,同底等高,所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。

(二)向心運動不為 0 時,右圖右

  1. 第一小段單位時間的掠面積為 △OAB ,等於 △OBC
  2. C' 為過 C 點平行於 OB 線上的任一點,可能在 C 點左側,也可能在 C 點右側。
  3. CC' 代表第二小段單位時間的向心位移,必須平行於 OB ,才符合向心運動的定義。
  4. 代表第二小段單位時間的質點運動為 BCCC' 之合成,即 BC'
  5. 第二小段單位時間的掠面積為 △OBC' ,等於 △OBC(同底等高) ,等於 △OAB(同底等高) 。這一點不論 C' 點在 C 點左側、在 C 點右側或是與 C 點重合都不變。
  6. 單位時間的掠面積正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 OH 之乘積。

二、尋找代表質點向心運動掠面積的算符

  1. 其計算因子:速度 V 為向量。
  2. 其計算結果也必須是向量,因為向心運動順時鐘旋轉與逆時鐘旋轉,代表兩組「不同」的向心運動。
  3. 計算結果大小與等速運動前進線與心之垂直距離成正比。
  4. 計算結果大小與速度 V 大小成正比。

綜上,目前「外積」算符與角動量定義最適合用來代表掠面積的大小。

動量與角動量

平動 轉動
守恆量 動量守恆 角動量守恆
計量對象 速度 掠面速度(勻速圓周運動時掠面速度退化為角速度)
穩態 靜止或勻速直線運動 周期和穩定的軌道
穩態不變的條件第一定律 合外力為零時才不變 不受力和受有心力時,掠面積不變,角動量不變
計量定義 動量 p=mv 角動量 J=m r×v=r×p
變化因子第二定律 力 F=ma=m dv/dt 力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt
兩體時第三定律 F12=-F12 或 dp1=-dp2 M12=-M12 或 dJ1=-dJ2
多體的質心系 總動量必為零 總角動量可以不為零(自旋角動量)
三維空間中 物體可以沿著三個方向平動 物體可以沿著三個方向轉動
量子力學 無內秉量力數 有自旋量子數

角動量守恆的應用

  1. 讓飛行的紙牌旋轉,紙牌就不會翻滾。
  2. 舞者或溜冰者,收攏四肢以加快族轉的速度。
  3. 槍管或炮管加螺旋的膛線,讓子彈或炮彈旋轉,前進時就不會翻滾。
  4. 克卜勒第二定律:在相等時間內,太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。