檢視 Rutherford與亞佛加厥常數的原始碼


<font size="5" color="blue">
'''原始設計者:彰師大'''
</font>

<table style='border:none'>
<tr>
<td style="vertical-align:text-top;">
<font size="4">介紹二十世紀初利用兩組拉賽福（Ernest Rutherford, 1871 – 1937）的實驗數據，分別是在1908年的α射線的鐳-226</font>
<img style="width:90px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>
<font size="4">輻射速率實驗，和在1911年的從鐳-226</font>
<img style="width:90px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>
<font size="4">產生氦氣實驗，計算出亞佛加厥常數。</font>
::<img style="width:500px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-2.png'/>


</td>
<td rowspan="2">



</td>
</tr>
<tr>
<td>
</td>
</tr>
</table>
<hr>



==1.現象說明 ==

亞佛加厥常數
<img style="width:50px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-3.png'/>
的準確數值為
<img style="width:150px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-2.png'/>，
12公克的碳-12含有
<img style="width:50px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-3.png'/>
個碳原子。雖然
<img style="width:50px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-3.png'/>
的數值對於化學家至為重要，但是其準確值的獲得是相當近代的事。一個世紀以前的科學家們在準確度偏低的測量數據中，是如何推演出亞佛加厥常數的呢?
<br><br>

==2.探究問題 ==

*2.1  亞佛加厥常數的計算方法。
*2.2  根據實驗「鐳-226輻射α粒子的速率」與「從鐳生產氦」所得數據計算亞佛加厥常數。
*2.3  比較實驗所推得的亞佛加厥常數與準確值。

<br><br>

==3.實作項目 ==

*3.1 閱讀關於拉賽福的實驗之說明
::鐳-226輻射α粒子的速率:
::在1908年，拉賽福和蓋格（Johannes Wilhelm "Hans" Geiger, 1882 – 1945）發表<img style="width:70px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>輻射α粒子的速率，他們的實驗裝置如圖一所示：
::::::<img style="width:900px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-4.png'/>
::::::::::::::::(圖片來源：https://archive.org/details/paper-doi-10_1098_rspa_1908_0065）
::圖一之右是偵測器（detecting vessel），抽氣至低壓（2-5 cm Hg）。A是包覆於電池正極的管柱，B是一條連到電池負極的電線，外加電壓。被α粒子游離的氣體，會將電流訊號放大數千倍傳到B為硬橡皮塞，D是讓α射線通過的小孔，直徑為數毫米，孔上裝有薄雲母片（將α粒子減速）。E為長玻璃管，輻射源可放置在距C不同長度的位置。F是活塞活栓，打開後α粒子可穿透到偵測器，G是磨口玻璃塞。
::我們將鐳-226<img style="width:70px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>的主要衰變路徑及其半衰期列於表一。
::::::::::::::<img style="width:600px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-5.png'/>
:::::::::::::::::::（資料來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Radium）
::::::::::::::::::::::表一 的主要衰變路徑及其半衰期
::從鐳-226<img style="width:60px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>衰變到比較穩定的鉛-210<img style="width:50px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-6.png'/>過程中，共有4個反應會放出α粒子，有3個反應會放出γ射線。拉賽福和蓋格將<img style="width:40px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-7.png'/>從暴露在大量<img style="width:30px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/77/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-8.png'/> 數小時之後的固體移開，靜置十五分鐘之後<img style="width:40px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-7.png'/>幾乎完全衰變，所測得的α粒子幾乎都是從<img style="width:35px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-9.png'/>的β衰變後立即由<img style="width:40px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-7.png'/>產生。實驗測量10分鐘內衰變的α粒子數，並同時在上圖的垂直方向以另一個相似的偵測器測量樣品的γ射線強度。儀器只能量到能量較高的γ射線，由<img style="width:40px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-7.png'/>產生的γ射線。將測量得到的γ射線強度與處於「放射性平衡」（radioactive equilibrium）的<img style="width:60px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>標準品的γ射線強度作比較，推算出樣本的相對<img style="width:60px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>質量，再算出每單位時間單位質量釋放的α粒子數。
::在拉賽福的時代，<img style="width:35px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/77/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-8.png'/> 稱為”radium emanation”（蒸散後的鐳），<img style="width:40px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fe/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-10.png'/>、<img style="width:40px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4e/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-11.png'/>和<img style="width:33px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-9.png'/>分別稱為”radium A”、”radium B”及”radium C”。
::讓α射線通過的小孔（D）直徑為1.25 mm，輻射源距離小孔150 cm，10分鐘內偵測器量到45個α粒子，輻射源對應於0.55微克的<img style="width:60px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>。
*3.2 試將以上拉賽福實驗裝置繪於一圓，並計算出每單位時間單位質量釋放的α粒子數(參考答案如式[2]所示)
::::::::::::::<img style="width:500px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-12.png'/>
*3.3 閱讀關於拉賽福的實驗之說明 (從鐳生產氦):
::利用前述的電流訊號放大偵測法，拉賽福等人於1911年以γ射線強度測得實驗中鐳的質量為0.192 mg，經過83天後共產生6.58 mm3的氦，經過132天後共產生10.38 m3的氦（1 atm, 0℃ ）。
::從<img style="width:60px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>衰變到比較穩定的<img style="width:50px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-6.png'/>過程中，共有4個反應會放出α粒子，和α粒子實驗不同的是，實驗以鐳的鹽類（RaBr2）進行，因此表一所列的其他放射性物質的濃度為零。以實驗時間132天來看，表一中的第三和第四個α粒子輻射反應可以視為處於放射性平衡，第一個α粒子輻射反應極為緩慢，其反應速率可視為常數。若每天由<img style="width:60px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>釋放的α粒子所產生的氦氣體積為x，則其他三個α粒子輻射反應所產生的氦氣體積應小於y = 3x。在反應的第T天，氦氣的體積如式[3]所示：
::::::::::::::<img style="width:400px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ae/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-13.png
'/>
::在式[3]中的第一項是由<img style="width:60px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>產生的的氦氣體積，第二項是<img style="width:30px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/77/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-8.png'/>每天α粒子輻射產生氦氣的三倍體積，積分式[3]得，<img style="width:20px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-14.png'/>是<img style="width:60px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>的α衰變速率常數，因為<img style="width:100px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-15.png'/>，以實驗的天數，積分中的<img style="width:25px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/06/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-16.png'/>趨近於零，因此式[3]可以近似，如式[4]所示：
::::::::::::::<img style="width:400px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-17.png'/>
::將83 d 和132 d帶入分別得到3.801x和3.875x，也就是應得的氦氣體積和x的倍數關係。以83d數據計算，得式[5]。
::::::::::::::<img style="width:400px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-18.png'/>
::以132 d數據計算，得式[6]。
::::::::::::::<img style="width:400px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-19.png'/>
::取其平均 。將 除以0.192 g，得到每公克<img style="width:60px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>每天產生的氦氣體積，如式[7]所示：
::::::::::::::<img style="width:400px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-20.png'/>
*3.4 試從兩個實驗數據計算出亞佛加爵常數，查詢常數之準確值，以你的數值和準確值比較。你認為你所得的數值準確度如何? 造成計算誤差的可能原因為何?

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==4.分析與結論 ==
:利用1908和1911年的兩組拉賽福實驗數據，從α粒子實驗得到的<img style="width:60px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>的α衰變速率為<img style="width:100px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-21.png'/>，從氦氣實驗得到<img style="width:60px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-1.png'/>的α衰變產生氦氣的速率為<img style="width:100px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-22.png'/>。
:(此處d為day的縮寫，1 d = 86400 seconds）
:由於在0 ℃且一大氣壓下氣體的莫耳體積是22.4 L，因此利用以上兩個數據透過等式計算，可得亞佛加厥常數<img style="width:50px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-3.png'/>，如式[1]所示：
:::::<img style="width:500px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b9/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-23.png'/>

:由式[1]可得到<img style="width:100px;" src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/%E4%BA%9E%E4%BD%9B%E5%8A%A0%E5%8E%A5%E6%95%B8-24.png，'/>
:利用1908和1911年兩組實驗數據，得到的亞佛加厥常數與準確值 差異不大。

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==5.教學目標與評量 ==

*5.1  了解亞佛加厥常數
*5.2  了解「鐳-226輻射α粒子的速率」與「從鐳生產氦」兩組實驗的內容
*5.3  學習如何結合兩組實驗數據推得亞佛加厥常數

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==6.參考資料 ==

*6.1 參考文獻
[1]  Avogadro constant, https://en.wikipedia.org/wiki/Avogadro_constant.
[2]  Rutherford, E.; Geiger, H. Proc. R. Soc. Lond. A 1908, 81, 162-173.
[3]  Boltwood, B. B.; Rutherford, E. Philos. Mag. 1911, 22, 586-604.
[4]  Leenson, I. A. J. Chem. Edu. 1998, 75, 998-1003



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