Rutherford與亞佛加厥常數

原始設計者:彰師大

介紹二十世紀初利用兩組拉賽福（Ernest Rutherford, 1871 – 1937）的實驗數據，分別是在1908年的α射線的鐳-226 輻射速率實驗，和在1911年的從鐳-226 產生氦氣實驗，計算出亞佛加厥常數。

---

1.現象說明

亞佛加厥常數 的準確數值為 ， 12公克的碳-12含有 個碳原子。雖然 的數值對於化學家至為重要，但是其準確值的獲得是相當近代的事。一個世紀以前的科學家們在準確度偏低的測量數據中，是如何推演出亞佛加厥常數的呢?

2.探究問題

• 2.1 亞佛加厥常數的計算方法。
• 2.2 根據實驗「鐳-226輻射α粒子的速率」與「從鐳生產氦」所得數據計算亞佛加厥常數。
• 2.3 比較實驗所推得的亞佛加厥常數與準確值。

3.實作項目

• 3.1 閱讀關於拉賽福的實驗之說明

鐳-226輻射α粒子的速率:

在1908年，拉賽福和蓋格（Johannes Wilhelm "Hans" Geiger, 1882 – 1945）發表輻射α粒子的速率，他們的實驗裝置如圖一所示：

(圖片來源：https://archive.org/details/paper-doi-10_1098_rspa_1908_0065）

圖一之右是偵測器（detecting vessel），抽氣至低壓（2-5 cm Hg）。A是包覆於電池正極的管柱，B是一條連到電池負極的電線，外加電壓。被α粒子游離的氣體，會將電流訊號放大數千倍傳到B為硬橡皮塞，D是讓α射線通過的小孔，直徑為數毫米，孔上裝有薄雲母片（將α粒子減速）。E為長玻璃管，輻射源可放置在距C不同長度的位置。F是活塞活栓，打開後α粒子可穿透到偵測器，G是磨口玻璃塞。

我們將鐳-226的主要衰變路徑及其半衰期列於表一。

（資料來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Radium）

表一 的主要衰變路徑及其半衰期

從鐳-226衰變到比較穩定的鉛-210過程中，共有4個反應會放出α粒子，有3個反應會放出γ射線。拉賽福和蓋格將從暴露在大量 數小時之後的固體移開，靜置十五分鐘之後幾乎完全衰變，所測得的α粒子幾乎都是從的β衰變後立即由產生。實驗測量10分鐘內衰變的α粒子數，並同時在上圖的垂直方向以另一個相似的偵測器測量樣品的γ射線強度。儀器只能量到能量較高的γ射線，由產生的γ射線。將測量得到的γ射線強度與處於「放射性平衡」（radioactive equilibrium）的標準品的γ射線強度作比較，推算出樣本的相對質量，再算出每單位時間單位質量釋放的α粒子數。

在拉賽福的時代， 稱為”radium emanation”（蒸散後的鐳），、和分別稱為”radium A”、”radium B”及”radium C”。

讓α射線通過的小孔（D）直徑為1.25 mm，輻射源距離小孔150 cm，10分鐘內偵測器量到45個α粒子，輻射源對應於0.55微克的。

• 3.2 試將以上拉賽福實驗裝置繪於一圓，並計算出每單位時間單位質量釋放的α粒子數(參考答案如式[2]所示)

• 3.3 閱讀關於拉賽福的實驗之說明 (從鐳生產氦):

利用前述的電流訊號放大偵測法，拉賽福等人於1911年以γ射線強度測得實驗中鐳的質量為0.192 mg，經過83天後共產生6.58 mm3的氦，經過132天後共產生10.38 m3的氦（1 atm, 0℃ ）。

從衰變到比較穩定的過程中，共有4個反應會放出α粒子，和α粒子實驗不同的是，實驗以鐳的鹽類（RaBr2）進行，因此表一所列的其他放射性物質的濃度為零。以實驗時間132天來看，表一中的第三和第四個α粒子輻射反應可以視為處於放射性平衡，第一個α粒子輻射反應極為緩慢，其反應速率可視為常數。若每天由釋放的α粒子所產生的氦氣體積為x，則其他三個α粒子輻射反應所產生的氦氣體積應小於y = 3x。在反應的第T天，氦氣的體積如式[3]所示：

在式[3]中的第一項是由產生的的氦氣體積，第二項是每天α粒子輻射產生氦氣的三倍體積，積分式[3]得，是的α衰變速率常數，因為，以實驗的天數，積分中的趨近於零，因此式[3]可以近似，如式[4]所示：

將83 d 和132 d帶入分別得到3.801x和3.875x，也就是應得的氦氣體積和x的倍數關係。以83d數據計算，得式[5]。

以132 d數據計算，得式[6]。

取其平均 。將 除以0.192 g，得到每公克每天產生的氦氣體積，如式[7]所示：

• 3.4 試從兩個實驗數據計算出亞佛加爵常數，查詢常數之準確值，以你的數值和準確值比較。你認為你所得的數值準確度如何? 造成計算誤差的可能原因為何?

4.分析與結論

利用1908和1911年的兩組拉賽福實驗數據，從α粒子實驗得到的的α衰變速率為，從氦氣實驗得到的α衰變產生氦氣的速率為。

(此處d為day的縮寫，1 d = 86400 seconds）

由於在0 ℃且一大氣壓下氣體的莫耳體積是22.4 L，因此利用以上兩個數據透過等式計算，可得亞佛加厥常數，如式[1]所示：

由式[1]可得到

利用1908和1911年兩組實驗數據，得到的亞佛加厥常數與準確值 差異不大。

5.教學目標與評量

• 5.1 了解亞佛加厥常數
• 5.2 了解「鐳-226輻射α粒子的速率」與「從鐳生產氦」兩組實驗的內容
• 5.3 學習如何結合兩組實驗數據推得亞佛加厥常數

6.參考資料

• 6.1 參考文獻

[1] Avogadro constant, https://en.wikipedia.org/wiki/Avogadro_constant. [2] Rutherford, E.; Geiger, H. Proc. R. Soc. Lond. A 1908, 81, 162-173. [3] Boltwood, B. B.; Rutherford, E. Philos. Mag. 1911, 22, 586-604. [4] Leenson, I. A. J. Chem. Edu. 1998, 75, 998-1003