勞倫茲變換

緣起

伽利略變換的不成立

伽利略變換是古典力學中，兩個以等速相對移動的慣性參考系之間變換的方法，它的核心在於：假設時間和空間是絕對的，這個變換在古典力學下成立。但在馬克士威方程組被提出後就無法套用，導致電磁學與伽利略變換沒有一致性，需要一種新的解釋來討論物體接近光速的狀況。

以太假說被推翻

因此科學家們假設光的傳輸介質是以太，讓基於光速的馬克士威方程式只有一個絕對(以太)坐標系，在此假設底下有可能產生不同的光速數值。但經過邁克生-莫雷干涉實驗後發現，不同方向並沒有明顯的光速變化，所以亟需另一個變換來解釋電磁學的現象。

原理解說

勞倫茲變換是兩個以相對移動的慣性參考系之間變換的方法，數學上的表現為一套方程組，因其創立者——荷蘭物理學家亨德里克·勞侖茲而得名。是為了解是古典電動力學(馬克士威方程組)與牛頓力學之間的矛盾。他提出運動中的物體長度會被壓縮，導致算起來的光速會相同後續在物理學上也被愛因斯坦用於解釋狹義相對論的數學變換關係。

光速恆定

勞倫茲變換就是為了解釋光速恆定而提出，以下為一個光速恆定的比喻。如果你在一輛以近光速行駛的車上打開手電筒，光的速度相對於你來說仍然是光速，即便你已經在移動。對於一個在地面的觀察者來說，他們看到的光速也仍然是光速，即便他們觀察的光源（你的手電筒）正在高速移動。這就是光速恆定原理的一個例子。

效應

時間膨脹

你有沒有注意到當你在做自己喜歡的事情時，時間似乎過得很快，而當你在等待或做你不喜歡的事情時，時間似乎過得很慢？這是我們在日常生活中的體驗，但在物理學中，我們確實有一種名為時間膨脹的現象。狹義相對論預測，一個人如果以接近光速的速度旅行，他經歷的時間將會比他的靜止的觀察者經歷的時間少。例如，一個太空人如果去了一趟以接近光速行駛的太空之旅，可能只覺得過去了幾年，但當他回到地球時，可能發現地球上已經過去了幾十年。

長度收縮

這是另一個由狹義相對論預測的現象。一個物體，如果以接近光速的速度移動，那麼在其運動方向上，其長度會相對於靜止的觀察者看起來變短。我們可以用奔跑的火車來做一個比喻。假設你在站台上看著一輛以非常高速經過的火車，根據相對論，你會覺得火車的長度比實際的要短。但請注意，火車上的乘客並不會覺得火車有任何變短，這是因為這種現象僅對於高速移動的觀察者才會出現。

質量變大

根據狹義相對論，物體的質量是相對於觀察者的運動狀態而言的。當一個物體以接近光速運動時，觀察者將會感覺到該物體的質量增加，這種現象被稱為質量增加效應。舉個例子來說，假設有一個非常高速的宇宙飛船，內部有一個太空人。當飛船加速以接近光速的速度時，根據狹義相對論，從地球上觀察，宇航員的質量將會增加。這意味著他們的質量增加，所需的能量也會增加，使得飛船運動變得更加困難。

日常生活例子

一、汞的特性

汞原子的電子結構和其物理性質，特別是它的磁性和光譜，是相對論效應在物質世界中的一個重要的實例。在汞原子中，最外層的電子運動的速度相當接近光速，這使得相對論效應成為必要的考慮因素。這些效應導致了汞原子的一些獨特性質，比如它的光譜線、色澤和它在室溫下的液態形態。

液態金屬

汞是很少數在室溫下就是液態的金屬之一，其背後的原因需要從其電子結構以及狹義相對論來解釋。

在汞原子中，最外層的電子（6s電子）移動的速度接近光速(約0.58c)，這使得相對論效應不能被忽視。由原理得知，當物體的速度接近光速時，其質量會增加，因此，汞原子中6s電子的質量實際上會比在靜止狀態下的質量大(1.23倍靜止質量)，這導致了它們在原子中的運動軌道變得更小、更靠近原子核。

這種軌道的收縮使得6s電子與原子核的吸引力增強，從而使這些電子更難以與其他原子共享，進而更不容易形成金屬鍵。這就是為什麼汞在室溫下不能像其他金屬一樣形成堅硬的晶體結構，而是處於液態。

此外，這種軌道的變化還影鍵到了汞原子對於熱振動的響應，使得汞的熔點和沸點都相對較低。這些都是狹義相對論影響下的汞原子性質。

同族元素?

為什麼同族 5S 軌域填滿的鎘並沒有表現出類似汞的物理性質？

鎘和汞在週期表中都位於第II B族，它們都是過渡金屬，且鎘的5s軌道和汞的6s軌道都是填滿的。然而，鎘在室溫下是固態，而不是像汞那樣是液態，這與它們的電子結構以及相對論效應有關。

而對於鎘來說，其5s軌道電子的運動速度雖然也很快，但相對於光速來說還是較慢(0.35c)，因此受到的相對論效應較小。所以，5s電子質量並沒有變太多(1.06倍靜止質量)，導致鎘的5s軌道電子的軌道沒有像汞那樣明顯收縮，也比較容易與其他原子共享，形成金屬鍵，所以鎘在室溫下是固態。

這就是為什麼雖然鎘和汞的最外層s軌道都填滿，但是由於相對論效應的不同，使得它們在室溫下呈現出不同的形態。

二、GPS

GPS 系統的工作原理是依賴從至少四個不同的衛星接收時間訊息，並由這些時間訊息來計算用戶的精確位置。由於衛星在地球上空的軌道運行，其速度相對於地面是很大的(約每秒四公里)，這就需要引入相對論的時間膨脹效應。(每天會比地面慢7.2微秒)

我們可以設計一個活動來模擬這個過程。例如，我們可以讓學生在校園內隨機分布，每個人都是一個 "衛星"，他們每個人都有一個同步的時間（可以是手機的時間），然後有一個 "用戶" 要根據從 "衛星" 接收的時間來確定他的位置。但是，為了模擬時間膨脹的效應，我們可以指定某些 "衛星" 提前或延後他們的時間（例如，每過一分鐘，他們的時間提前或延後一秒）。

這樣，學生們就會發現，如果不考慮這種時間膨脹的效應，那麼他們計算出來的 "用戶" 的位置會有誤差。這可以讓他們理解到，在高速運動的情況下，時間是會有變化的，這就是相對論中的時間膨脹效應。而這個效應在我們使用 GPS 定位時，是必須要被考慮進去的。

請注意，這個活動只是一個非常粗略的模擬，它忽略了許多其他的因素，比如信號傳播的時間，以及地球的形狀等等。但是，它可以作為一個入門活動，來幫助學生初步理解相對論的一些概念。

參考資料

註電子速度可以大概用 [math]Z/137*c[/math]來估算，其中Z為原子序，c為光速
靜止質量可由以下方程式推估 m_rel=m_rest[math]/sqrt(1-(v/c)^2)[/math]